連続する3つの奇数 $2n+1$, $2n+3$, $2n+5$ があるとき、最も大きい数の2乗から残りの2数の積を引いた差が偶数になることを証明する。

代数学整数の性質式の展開因数分解証明
2025/7/25

1. 問題の内容

連続する3つの奇数 2n+12n+1, 2n+32n+3, 2n+52n+5 があるとき、最も大きい数の2乗から残りの2数の積を引いた差が偶数になることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、最も大きい数の2乗から残りの2数の積を引いた差を計算する。
(2n+5)2(2n+1)(2n+3)(2n+5)^2 - (2n+1)(2n+3)
(2n+5)2(2n+5)^2 を展開すると、
(2n+5)2=(2n)2+2(2n)(5)+52=4n2+20n+25(2n+5)^2 = (2n)^2 + 2(2n)(5) + 5^2 = 4n^2 + 20n + 25
(2n+1)(2n+3)(2n+1)(2n+3) を展開すると、
(2n+1)(2n+3)=(2n)(2n)+(2n)(3)+(1)(2n)+(1)(3)=4n2+6n+2n+3=4n2+8n+3(2n+1)(2n+3) = (2n)(2n) + (2n)(3) + (1)(2n) + (1)(3) = 4n^2 + 6n + 2n + 3 = 4n^2 + 8n + 3
したがって、
(2n+5)2(2n+1)(2n+3)=(4n2+20n+25)(4n2+8n+3)=4n2+20n+254n28n3=(4n24n2)+(20n8n)+(253)=12n+22(2n+5)^2 - (2n+1)(2n+3) = (4n^2 + 20n + 25) - (4n^2 + 8n + 3) = 4n^2 + 20n + 25 - 4n^2 - 8n - 3 = (4n^2 - 4n^2) + (20n - 8n) + (25 - 3) = 12n + 22
12n+2212n + 22 は、 2(6n+11)2(6n + 11) と書くことができる。
6n+116n + 11 は整数なので、 2(6n+11)2(6n + 11) は偶数である。
よって、連続する3つの奇数で、最も大きい数の2乗から残りの2数の積を引いた差は、偶数になる。

3. 最終的な答え

(2n+5)2(2n+1)(2n+3)=4n2+20n+25(4n2+8n+3)=12n+22=2(6n+11)(2n+5)^2-(2n+1)(2n+3) = 4n^2+20n+25-(4n^2+8n+3) = 12n+22 = 2(6n+11)
6n+116n+11は整数なので、2(6n+11)2(6n+11)は偶数である。
したがって、連続する3つの奇数で、もっとも大きい数の2乗から残りの2数の積をひいた差は、偶数になる。

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