ひし形ABCDにおいて、AB=5cm, AC=6cm, BD=8cmである。 (1) 頂点Aから辺BCに引いた垂線AHの長さを求める。 (2) ひし形ABCDを直線DCを軸として1回転させてできる立体の体積を求める。

1. 問題の内容

ひし形ABCDにおいて、AB=5cm, AC=6cm, BD=8cmである。

(1) 頂点Aから辺BCに引いた垂線AHの長さを求める。

(2) ひし形ABCDを直線DCを軸として1回転させてできる立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) ひし形の面積を2通りの方法で表し、AHの長さを求める。

ひし形の面積は、対角線の積の半分で求められるので、$S = \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$ cm$^2$。

また、ひし形の面積は、底辺×高さでも求められるので、$S = BC \times AH$。

ひし形の性質より、AB = BCなので、BC = 5cm。

したがって、$24 = 5 \times AH$となり、$AH = \frac{24}{5} = 4.8$ cm。

(2) ひし形ABCDを直線DCを軸として1回転させてできる立体は、底面の半径がAHの円錐を2つ合わせた形になる。

円錐の高さは、DCの半分に等しいので、$\frac{1}{2} DC = \frac{1}{2}AB= \frac{5}{2}$cm。

したがって、回転体の体積は、$V = \frac{1}{3} \times \pi \times AH^2 \times \frac{5}{2} \times 2 = \frac{1}{3} \times \pi \times (\frac{24}{5})^2 \times 5 = \frac{576}{25}\pi \times \frac{5}{3} = \frac{192}{5}\pi$ cm$^3$。

$\frac{192}{5} = 38.4$なので、体積は$38.4\pi$ cm$^3$。

3. 最終的な答え

(1) $AH = \frac{24}{5}$

(2) $\frac{192}{5}\pi$