異なる3直線 $x+y=1$, $3x+4y=1$, $ax+by=1$ が1点で交わるならば、3点 $(1,1)$, $(3,4)$, $(a,b)$ が一直線上にあることを証明する。

1. 問題の内容

異なる3直線 $x+y=1$, $3x+4y=1$, $ax+by=1$ が1点で交わるならば、3点 $(1,1)$, $(3,4)$, $(a,b)$ が一直線上にあることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、$x+y=1$ と $3x+4y=1$ の交点を求める。

連立方程式を解く。

$x+y=1$ より $y=1-x$

これを $3x+4y=1$ に代入すると

$3x+4(1-x)=1$

$3x+4-4x=1$

$-x=-3$

$x=3$

$y=1-x=1-3=-2$

交点は $(3,-2)$

3直線が1点で交わるので、$ax+by=1$ も $(3,-2)$ を通る。

$3a-2b=1$

3点 $(1,1), (3,4), (a,b)$ が一直線上にあることを示す。

2点 $(1,1), (3,4)$ を通る直線の方程式を求める。

傾きは $\frac{4-1}{3-1}=\frac{3}{2}$

$y-1=\frac{3}{2}(x-1)$

$y=\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}+1$

$y=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}$

$2y=3x-1$

$3x-2y=1$

$(a,b)$ がこの直線上にあることを示す。

$3a-2b=1$ が成り立つ。

これは既にわかっている。

したがって、3点 $(1,1), (3,4), (a,b)$ は一直線上にある。

3. 最終的な答え

証明終了。3点(1,1), (3,4), (a,b)は一直線上にある。