$x$ を 2 より大きい定数とする。$\triangle ABC$ において、$AB = x-1$, $BC = x$, $CA = x+1$ であり、$\cos B = \frac{2}{7}$ である。このとき、以下の問いに答えよ。 (1) 余弦定理を用いて、$x$ の値を求めよ。 (2) (1) の結果を用いて、$\triangle ABC$ の内接円の半径 $r$ を求めよ。

1. 問題の内容

$x$ を 2 より大きい定数とする。$\triangle ABC$ において、$AB = x-1$, $BC = x$, $CA = x+1$ であり、$\cos B = \frac{2}{7}$ である。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) 余弦定理を用いて、$x$ の値を求めよ。

(2) (1) の結果を用いて、$\triangle ABC$ の内接円の半径 $r$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理より、

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)\cos B$$

$AC = x+1, AB = x-1, BC = x, \cos B = \frac{2}{7}$ を代入すると、

$$(x+1)^2 = (x-1)^2 + x^2 - 2(x-1)(x) \cdot \frac{2}{7}$$

$$x^2 + 2x + 1 = x^2 - 2x + 1 + x^2 - \frac{4}{7}(x^2 - x)$$

$$0 = x^2 - 4x - \frac{4}{7}(x^2 - x)$$

$$0 = 7x^2 - 28x - 4x^2 + 4x$$

$$0 = 3x^2 - 24x$$

$$0 = 3x(x-8)$$

$x > 2$ より、$x = 8$.

(2) $x = 8$ より、$AB = 7$, $BC = 8$, $CA = 9$.

ヘロンの公式より、$\triangle ABC$ の面積 $S$ は、

$s = \frac{7+8+9}{2} = 12$ とすると、

$$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5}$$

また、$\triangle ABC$ の面積は、$S = rs = 12r$ でもあるので、

$12r = 12\sqrt{5}$

$r = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 8$

(2) $r = \sqrt{5}$