3つの直線 $x+3y-2=0$, $x+y=0$, $ax-2y+4=0$ が三角形を作らないときの定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

3つの直線 $x+3y-2=0$, $x+y=0$, $ax-2y+4=0$ が三角形を作らないときの定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

3つの直線が三角形を作らないのは、次のいずれかの場合である。

(1) 3つの直線が平行である。

(2) 3つの直線のうち2つが平行である。

(3) 3つの直線が1点で交わる。

まず、それぞれの直線の傾きを求める。

$x+3y-2=0$ より $3y=-x+2$, よって $y=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$. 傾きは $-\frac{1}{3}$.

$x+y=0$ より $y=-x$. 傾きは $-1$.

$ax-2y+4=0$ より $2y=ax+4$, よって $y=\frac{a}{2}x+2$. 傾きは $\frac{a}{2}$.

(1) 3つの直線が平行である場合：

3つの直線の傾きがすべて等しい必要があるが、$-\frac{1}{3} \neq -1$ より、これはありえない。

(2) 3つの直線のうち2つが平行である場合：

$-\frac{1}{3} = \frac{a}{2}$ のとき $a = -\frac{2}{3}$.

$-1 = \frac{a}{2}$ のとき $a = -2$.

よって、$a = -\frac{2}{3}$ または $a=-2$ である。

(3) 3つの直線が1点で交わる場合：

$x+3y-2=0$ と $x+y=0$ の交点を求める。

$x+y=0$ より $x=-y$. これを $x+3y-2=0$ に代入すると、$-y+3y-2=0$, よって $2y=2$, $y=1$.

$x=-y$ より $x=-1$.

したがって、交点は $(-1, 1)$ である。

$ax-2y+4=0$ がこの点を通るとき、 $a(-1) - 2(1) + 4 = 0$, $-a - 2 + 4 = 0$, $-a + 2 = 0$, $a=2$.

以上より、$a$ の値は $-\frac{2}{3}$, $-2$, $2$ である。

3. 最終的な答え

$a = -\frac{2}{3}, -2, 2$