つるまきバネの下端に50gのおもりをつるすと全長が22cmになり、80gのおもりをつるすと全長が28cmになった。何もつるさないときのバネの長さと、このバネの弾性定数を求める。

1. 問題の内容

つるまきバネの下端に50gのおもりをつるすと全長が22cmになり、80gのおもりをつるすと全長が28cmになった。何もつるさないときのバネの長さと、このバネの弾性定数を求める。

2. 解き方の手順

まず、バネの自然長を $x$ cm、バネ定数を $k$ g重/cmとする。フックの法則より、バネの伸びは加わる力に比例する。重力加速度を考慮しない場合、質量と重さは比例するため、ここでは質量を力として扱う。

50gのおもりをつるしたとき、バネの長さは22cmなので、

$x + \frac{50}{k} = 22$

80gのおもりをつるしたとき、バネの長さは28cmなので、

$x + \frac{80}{k} = 28$

この二つの式から、$x$と$k$を求める。

2番目の式から1番目の式を引くと、

$\frac{80}{k} - \frac{50}{k} = 28 - 22$

$\frac{30}{k} = 6$

$k = \frac{30}{6} = 5$ g重/cm

$k = 5$を1番目の式に代入すると、

$x + \frac{50}{5} = 22$

$x + 10 = 22$

$x = 12$ cm

バネ定数 $k$ をN/mの単位に変換する必要がある。$1 \text{ g重} = 9.8 \times 10^{-3} \text{ N}$であることを利用する。

$k = 5 \frac{\text{g重}}{\text{cm}} = 5 \times \frac{9.8 \times 10^{-3} \text{ N}}{10^{-2} \text{ m}} = 5 \times \frac{9.8}{10} \text{ N/m} = 4.9 \text{ N/m}$

3. 最終的な答え

何もつるさないときのバネの長さは12 cm。

バネの弾性定数は4.9 N/m。