歴史と地理の勉強時間 $x$ と $y$ の合計が20時間であるという制約の下で、社会のテストの点数 $z = 9x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}}$ を最大化するような $x$ と $y$ の組み合わせを求める問題です。ラグランジュの未定乗数法を用いて解くことを求められています。

1. 問題の内容

歴史と地理の勉強時間 $x$ と $y$ の合計が20時間であるという制約の下で、社会のテストの点数 $z = 9x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}}$ を最大化するような $x$ と $y$ の組み合わせを求める問題です。ラグランジュの未定乗数法を用いて解くことを求められています。

2. 解き方の手順

(1) 制約付き最適化問題として表現する。

最大化したい関数（目的関数）：$z = 9x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}}$

制約条件：$x + y = 20$

(2) ラグランジュ関数を作る。

ラグランジュ乗数を $\lambda$ とすると、ラグランジュ関数 $L$ は次のように定義できます。

$L(x, y, \lambda) = 9x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}} - \lambda(x + y - 20)$

(3) ラグランジュ関数を使って、$x$, $y$ を求める。

ラグランジュ関数 $L$ を $x$, $y$, $\lambda$ でそれぞれ偏微分し、それらが0となる連立方程式を解きます。

$\frac{\partial L}{\partial x} = 9 \cdot \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}}y^{\frac{2}{3}} - \lambda = 3x^{-\frac{2}{3}}y^{\frac{2}{3}} - \lambda = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = 9 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{1}{3}}y^{-\frac{1}{3}} - \lambda = 6x^{\frac{1}{3}}y^{-\frac{1}{3}} - \lambda = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(x + y - 20) = 0$

これらの式から$\lambda$ を消去します。

$3x^{-\frac{2}{3}}y^{\frac{2}{3}} = 6x^{\frac{1}{3}}y^{-\frac{1}{3}}$

両辺に $x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{1}{3}}$ をかけると、

$3y = 6x$

$y = 2x$

これを制約条件 $x + y = 20$ に代入すると、

$x + 2x = 20$

$3x = 20$

$x = \frac{20}{3}$

したがって、$y = 2 \cdot \frac{20}{3} = \frac{40}{3}$

これらが $z$ を最大化する $x$ と $y$ の値です。

3. 最終的な答え

歴史の勉強時間 $x = \frac{20}{3}$ 時間、地理の勉強時間 $y = \frac{40}{3}$ 時間