スカラー場 $\phi = x^3z - xyz^2$ と点 $P(-1, 1, 2)$ について、以下のものを求める。 (1) $\nabla \phi$ (2) 点 $P$ における $(\nabla \phi)_P$ の方向への方向微分係数 (3) 点 $P$ における $\nabla^2 \phi$

1. 問題の内容

スカラー場 $\phi = x^3z - xyz^2$ と点 $P(-1, 1, 2)$ について、以下のものを求める。

(1) $\nabla \phi$

(2) 点 $P$ における $(\nabla \phi)_P$ の方向への方向微分係数

(3) 点 $P$ における $\nabla^2 \phi$

2. 解き方の手順

(1) $\nabla \phi$ を求める。

$\nabla \phi = (\frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z})$

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = 3x^2z - yz^2$

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = -xz^2$

$\frac{\partial \phi}{\partial z} = x^3 - 2xyz$

したがって、

$\nabla \phi = (3x^2z - yz^2, -xz^2, x^3 - 2xyz)$

(2) 点 $P(-1, 1, 2)$ における $(\nabla \phi)_P$ を求める。

$(\nabla \phi)_P = (3(-1)^2(2) - (1)(2)^2, -(-1)(2)^2, (-1)^3 - 2(-1)(1)(2)) = (6-4, 4, -1+4) = (2, 4, 3)$

$(\nabla \phi)_P$ の方向への方向微分係数は、$|\nabla \phi|^2$である。

$\nabla \phi$の方向の単位ベクトル$\vec{u}$は、$\vec{u} = \frac{\nabla \phi}{|\nabla \phi|}$

方向微分係数 $D_{\vec{u}} \phi = \nabla \phi \cdot \vec{u} = |\nabla \phi|$

$(\nabla \phi)_P = (2, 4, 3)$なので、

$|(\nabla \phi)_P| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{4+16+9} = \sqrt{29}$

点 $P$ における $(\nabla \phi)_P$ の方向への方向微分係数は $|(\nabla \phi)_P| = \sqrt{29}$

(3) $\nabla^2 \phi$ を求める。

$\nabla^2 \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}$

$\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2z - yz^2) = 6xz$

$\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(-xz^2) = 0$

$\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = \frac{\partial}{\partial z}(x^3 - 2xyz) = -2xy$

したがって、

$\nabla^2 \phi = 6xz + 0 - 2xy = 6xz - 2xy$

点 $P(-1, 1, 2)$ における $\nabla^2 \phi$ を求める。

$(\nabla^2 \phi)_P = 6(-1)(2) - 2(-1)(1) = -12 + 2 = -10$

3. 最終的な答え

(1) $\nabla \phi = (3x^2z - yz^2, -xz^2, x^3 - 2xyz)$

(2) $\sqrt{29}$

(3) $-10$