質量 $m$ の惑星が $\vec{r} = R\vec{e_r}$ の位置にあり、速度 $\vec{v} = \omega R\vec{e_\theta}$ で運動している。惑星には万有引力 $-\frac{GmM}{R^2}\vec{e_r}$ が働いている。$M$ は原点にある恒星の質量である。ここで、$\vec{i}$, $\vec{j}$ と $\vec{e_r}$, $\vec{e_\theta}$ の関係は教科書にある通りである。$R$, $\omega$ は定数とし、惑星の軌道は円軌道とする。$z$ 軸と平行、同じ向きの単位ベクトル $\vec{k}$ は $\vec{k} = \vec{e_r} \times \vec{e_\theta}$ と表せる。 (1) 原点まわりの惑星の角運動量 $\vec{L}$ を求めよ。 (2) 原点まわりの万有引力のモーメント $\vec{N}$ を求めよ。

1. 問題の内容

質量 $m$ の惑星が $\vec{r} = R\vec{e_r}$ の位置にあり、速度 $\vec{v} = \omega R\vec{e_\theta}$ で運動している。惑星には万有引力 $-\frac{GmM}{R^2}\vec{e_r}$ が働いている。$M$ は原点にある恒星の質量である。ここで、$\vec{i}$, $\vec{j}$ と $\vec{e_r}$, $\vec{e_\theta}$ の関係は教科書にある通りである。$R$, $\omega$ は定数とし、惑星の軌道は円軌道とする。$z$ 軸と平行、同じ向きの単位ベクトル $\vec{k}$ は $\vec{k} = \vec{e_r} \times \vec{e_\theta}$ と表せる。

(1) 原点まわりの惑星の角運動量 $\vec{L}$ を求めよ。

(2) 原点まわりの万有引力のモーメント $\vec{N}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 角運動量の定義は $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ であり、$\vec{p} = m\vec{v}$ であるから、

\begin{align*}

\vec{L} &= \vec{r} \times (m\vec{v}) \\

&= R\vec{e_r} \times (m\omega R\vec{e_\theta}) \\

&= m\omega R^2 (\vec{e_r} \times \vec{e_\theta}) \\

&= m\omega R^2 \vec{k}

\end{align*}

(2) 力のモーメントの定義は $\vec{N} = \vec{r} \times \vec{F}$ であり、$\vec{F} = -\frac{GmM}{R^2}\vec{e_r}$ であるから、

\begin{align*}

\vec{N} &= \vec{r} \times \vec{F} \\

&= R\vec{e_r} \times (-\frac{GmM}{R^2}\vec{e_r}) \\

&= -\frac{GmM}{R} (\vec{e_r} \times \vec{e_r}) \\

&= \vec{0}

\end{align*}

3. 最終的な答え

(1) $\vec{L} = m\omega R^2 \vec{k}$

(2) $\vec{N} = \vec{0}$