位置ベクトル場 $\mathbf{r} = (x, y, z)$ で、$r = |\mathbf{r}|$ のとき、以下の量を $\mathbf{r}$ および $r$ を用いて表す問題です。 (1) $\nabla r$ (2) $\nabla^2 r$ (3) $\nabla \times (r\mathbf{r})$ (4) $\nabla (r^2 e^{-r})$

1. 問題の内容

位置ベクトル場 $\mathbf{r} = (x, y, z)$ で、$r = |\mathbf{r}|$ のとき、以下の量を $\mathbf{r}$ および $r$ を用いて表す問題です。

(1) $\nabla r$

(2) $\nabla^2 r$

(3) $\nabla \times (r\mathbf{r})$

(4) $\nabla (r^2 e^{-r})$

2. 解き方の手順

(1) $\nabla r$ の計算：

まず、$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ であるから、

$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{x}{r}$

$\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{y}{r}$

$\frac{\partial r}{\partial z} = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{z}{r}$

したがって、

$\nabla r = \left( \frac{\partial r}{\partial x}, \frac{\partial r}{\partial y}, \frac{\partial r}{\partial z} \right) = \left( \frac{x}{r}, \frac{y}{r}, \frac{z}{r} \right) = \frac{1}{r} (x, y, z) = \frac{\mathbf{r}}{r}$

(2) $\nabla^2 r$ の計算：

$\nabla^2 r = \nabla \cdot (\nabla r) = \nabla \cdot \left( \frac{\mathbf{r}}{r} \right)$

$\nabla \cdot \left( \frac{\mathbf{r}}{r} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x}{r} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y}{r} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{z}{r} \right)$

$\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x}{r} \right) = \frac{r - x \frac{\partial r}{\partial x}}{r^2} = \frac{r - x \frac{x}{r}}{r^2} = \frac{r^2 - x^2}{r^3}$

同様に、

$\frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y}{r} \right) = \frac{r^2 - y^2}{r^3}$

$\frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{z}{r} \right) = \frac{r^2 - z^2}{r^3}$

したがって、

$\nabla^2 r = \frac{r^2 - x^2}{r^3} + \frac{r^2 - y^2}{r^3} + \frac{r^2 - z^2}{r^3} = \frac{3r^2 - (x^2 + y^2 + z^2)}{r^3} = \frac{3r^2 - r^2}{r^3} = \frac{2r^2}{r^3} = \frac{2}{r}$

(3) $\nabla \times (r\mathbf{r})$ の計算：

$\nabla \times (r\mathbf{r}) = \nabla r \times \mathbf{r} + r (\nabla \times \mathbf{r})$

$\nabla \times \mathbf{r} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x & y & z \end{vmatrix} = (0, 0, 0) = \mathbf{0}$

$\nabla r \times \mathbf{r} = \frac{\mathbf{r}}{r} \times \mathbf{r} = \frac{1}{r} (\mathbf{r} \times \mathbf{r}) = \mathbf{0}$

したがって、

$\nabla \times (r\mathbf{r}) = \mathbf{0}$

(4) $\nabla (r^2 e^{-r})$ の計算：

$\nabla (r^2 e^{-r}) = \frac{d(r^2 e^{-r})}{dr} \nabla r = (2r e^{-r} - r^2 e^{-r}) \frac{\mathbf{r}}{r} = (2 e^{-r} - r e^{-r}) \mathbf{r} = (2 - r) e^{-r} \mathbf{r}$

3. 最終的な答え

(1) $\nabla r = \frac{\mathbf{r}}{r}$

(2) $\nabla^2 r = \frac{2}{r}$

(3) $\nabla \times (r\mathbf{r}) = \mathbf{0}$

(4) $\nabla (r^2 e^{-r}) = (2 - r) e^{-r} \mathbf{r}$