一様な電場 $\mathbf{E}$ と磁束密度 $\mathbf{B}$ の空間中を速度 $\mathbf{v}$ で移動する荷電粒子の運動方程式が与えられています。 $m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})$。 ここで、$\mathbf{E}$ と $\mathbf{B}$ は直交し、$\mathbf{v}$ は別の速度 $\mathbf{w}$ を用いて $\mathbf{v} = \mathbf{w} + \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{B}}{B^2}$ と表されるとき、$\mathbf{w}$ についての運動方程式を求めます。

1. 問題の内容

一様な電場 $\mathbf{E}$ と磁束密度 $\mathbf{B}$ の空間中を速度 $\mathbf{v}$ で移動する荷電粒子の運動方程式が与えられています。

$m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})$。

ここで、$\mathbf{E}$ と $\mathbf{B}$ は直交し、$\mathbf{v}$ は別の速度 $\mathbf{w}$ を用いて $\mathbf{v} = \mathbf{w} + \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{B}}{B^2}$ と表されるとき、$\mathbf{w}$ についての運動方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた $\mathbf{v}$ の式を時間で微分します。

$\frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d\mathbf{w}}{dt} + \frac{d}{dt}\left(\frac{\mathbf{E} \times \mathbf{B}}{B^2}\right)$

$\mathbf{E}$と$\mathbf{B}$は時間変化しないので、

$\frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d\mathbf{w}}{dt}$

これを運動方程式に代入します。

$m\frac{d\mathbf{w}}{dt} = q\left(\mathbf{E} + \left(\mathbf{w} + \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{B}}{B^2}\right) \times \mathbf{B}\right)$

ここで、ベクトル三重積の公式 $\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = (\mathbf{A} \cdot \mathbf{C})\mathbf{B} - (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})\mathbf{C}$ を用います。

$\left(\frac{\mathbf{E} \times \mathbf{B}}{B^2}\right) \times \mathbf{B} = -\mathbf{B} \times \left(\frac{\mathbf{E} \times \mathbf{B}}{B^2}\right) = -\frac{1}{B^2}\left((\mathbf{B} \cdot \mathbf{B})\mathbf{E} - (\mathbf{B} \cdot \mathbf{E})\mathbf{B}\right)$

$\mathbf{E}$ と $\mathbf{B}$ は直交するので、$\mathbf{E} \cdot \mathbf{B} = 0$ であるから、

$\left(\frac{\mathbf{E} \times \mathbf{B}}{B^2}\right) \times \mathbf{B} = -\frac{1}{B^2}(B^2\mathbf{E}) = -\mathbf{E}$

したがって、

$m\frac{d\mathbf{w}}{dt} = q(\mathbf{E} + \mathbf{w} \times \mathbf{B} - \mathbf{E})$

$m\frac{d\mathbf{w}}{dt} = q(\mathbf{w} \times \mathbf{B})$

3. 最終的な答え

$\mathbf{w}$ についての運動方程式は

$m\frac{d\mathbf{w}}{dt} = q(\mathbf{w} \times \mathbf{B})$