半径 $a$、長さ $h$、質量 $M$ の一様な円柱の中心を原点に置き、円柱の軸に垂直な $y$ 軸を回転軸としたときの慣性モーメント $I$ を求める問題です。

1. 問題の内容

半径 $a$、長さ $h$、質量 $M$ の一様な円柱の中心を原点に置き、円柱の軸に垂直な $y$ 軸を回転軸としたときの慣性モーメント $I$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

円柱の慣性モーメントを求めるには、微小体積要素を考え、その体積要素の慣性モーメントを積分します。

まず、円柱の密度 $\rho$ を求めます。円柱の体積は $V = \pi a^2 h$ なので、密度は $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\pi a^2 h}$ です。

次に、円柱を微小な円板に分割します。円板の厚さを $dz$ とします。円板の質量 $dm$ は $dm = \rho dV = \rho \pi a^2 dz = \frac{M}{\pi a^2 h} \pi a^2 dz = \frac{M}{h} dz$ となります。

円板の $y$ 軸に関する慣性モーメント $dI$ は、$dI = \frac{1}{4} dm a^2 + dm z^2$ で与えられます。これは、円板の中心を通る軸に関する慣性モーメント $\frac{1}{4} dm a^2$ と、平行軸の定理 $dm z^2$ を用いて求めたものです。

円柱全体の慣性モーメント $I$ は、この $dI$ を $z$ について $-h/2$ から $h/2$ まで積分することで求まります。

$I = \int_{-h/2}^{h/2} dI = \int_{-h/2}^{h/2} (\frac{1}{4} dm a^2 + dm z^2) = \int_{-h/2}^{h/2} (\frac{1}{4} \frac{M}{h} a^2 + \frac{M}{h} z^2) dz$

$I = \frac{M}{h} \int_{-h/2}^{h/2} (\frac{1}{4} a^2 + z^2) dz = \frac{M}{h} [\frac{1}{4} a^2 z + \frac{1}{3} z^3]_{-h/2}^{h/2}$

$I = \frac{M}{h} [\frac{1}{4} a^2 (\frac{h}{2} - (-\frac{h}{2})) + \frac{1}{3} ((\frac{h}{2})^3 - (-\frac{h}{2})^3)] = \frac{M}{h} [\frac{1}{4} a^2 h + \frac{1}{3} \frac{h^3}{4}] = M (\frac{1}{4} a^2 + \frac{1}{12} h^2) = \frac{1}{12} M(3a^2 + h^2)$

3. 最終的な答え

$I = \frac{1}{12} M(3a^2 + h^2)$