## 問題の解答

## 問題の解答

画像の問題を解きます。OCRの結果から、以下の4つの問題があることがわかります。

1. $\phi(x, y, z) = x^2y + 2xz$ の点 $P(2, -2, 1)$ における単位法線ベクトル $n$ を求めよ。

2. $\phi(x, y, z) = x^2y^2 + xyz + 3xz^2$ のとき、以下を求めよ。

(1) $\nabla \phi$

(2) 方向を示す単位ベクトルが $a = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$ で与えられるとき、点 $(1, 1, 1)$ における $\nabla \phi$ の $a$ 方向成分

3. 以下のベクトルの発散および回転を求めよ。

(1) $A = e^{-y}(\cos x, -\cos x, \cos x)$

(2) $B = (x \sin y, 2x \cos y, 2z^2)$

(3) $C = (\cos x \sin y, \sin x \cos y, \cos x \sin y)$

4. 位置ベクトル場 $r = (x, y, z), r = |r|$ のとき、以下を $r$ および $r$ を用いて表せ。

(1) $\nabla r$

(2) $\nabla^2 r$

(3) $\nabla \times (rr)$

(4) $\nabla (r^2 e^{-r})$

以下、それぞれの問題に対する解答を示します。

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1. 単位法線ベクトル

1. **問題の内容**

スカラー場 $\phi(x, y, z) = x^2y + 2xz$ の点 $P(2, -2, 1)$ における単位法線ベクトル $n$ を求める。

2. **解き方の手順**

* まず、$\phi$ の勾配 $\nabla \phi$ を計算します。

$\nabla \phi = (\frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z})$

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = 2xy + 2z$

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = x^2$

$\frac{\partial \phi}{\partial z} = 2x$

したがって、$\nabla \phi = (2xy + 2z, x^2, 2x)$

* 次に、点 $P(2, -2, 1)$ における $\nabla \phi$ を計算します。

$\nabla \phi (2, -2, 1) = (2(2)(-2) + 2(1), (2)^2, 2(2)) = (-8 + 2, 4, 4) = (-6, 4, 4)$

* $\nabla \phi (2, -2, 1)$ は点 $P$ における $\phi$ の法線ベクトルです。単位法線ベクトル $n$ を得るためには、このベクトルをその大きさで割ります。

$|\nabla \phi (2, -2, 1)| = \sqrt{(-6)^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16 + 16} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$

したがって、単位法線ベクトル $n$ は

$n = \frac{\nabla \phi (2, -2, 1)}{|\nabla \phi (2, -2, 1)|} = \frac{(-6, 4, 4)}{2\sqrt{17}} = \frac{(-3, 2, 2)}{\sqrt{17}}$

3. **最終的な答え**

$n = \frac{1}{\sqrt{17}}(-3, 2, 2)$

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2. 勾配と方向微分

1. **問題の内容**

$\phi(x, y, z) = x^2y^2 + xyz + 3xz^2$ について、(1) $\nabla \phi$ を求め、(2) 方向ベクトル $a = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$ で表される方向への点 $(1, 1, 1)$ における $\nabla \phi$ の方向微分を求める。

2. **解き方の手順**

(1) $\nabla \phi$ の計算

$\nabla \phi = (\frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z})$

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = 2xy^2 + yz + 3z^2$

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = 2x^2y + xz$

$\frac{\partial \phi}{\partial z} = xy + 6xz$

したがって、$\nabla \phi = (2xy^2 + yz + 3z^2, 2x^2y + xz, xy + 6xz)$

(2) 方向微分の計算

点 $(1, 1, 1)$ における $\nabla \phi$ は

$\nabla \phi (1, 1, 1) = (2(1)(1)^2 + (1)(1) + 3(1)^2, 2(1)^2(1) + (1)(1), (1)(1) + 6(1)(1)) = (2 + 1 + 3, 2 + 1, 1 + 6) = (6, 3, 7)$

方向ベクトル $a = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$ 方向への方向微分は、$\nabla \phi (1, 1, 1)$ と $a$ の内積で与えられます。

$\nabla \phi (1, 1, 1) \cdot a = (6, 3, 7) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1) = \frac{1}{\sqrt{3}}(6 + 3 + 7) = \frac{16}{\sqrt{3}}$

3. **最終的な答え**

(1) $\nabla \phi = (2xy^2 + yz + 3z^2, 2x^2y + xz, xy + 6xz)$

(2) $\frac{16}{\sqrt{3}}$

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3. 発散と回転

1. **問題の内容**

以下のベクトル場について、発散と回転を求めます。

(1) $A = e^{-y}(\cos x, -\cos x, \cos x)$

(2) $B = (x \sin y, 2x \cos y, 2z^2)$

(3) $C = (\cos x \sin y, \sin x \cos y, \cos x \sin y)$

2. **解き方の手順**

* 発散 (divergence): $\nabla \cdot F = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$

* 回転 (curl): $\nabla \times F = (\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}, \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y})$

(1) $A = e^{-y}(\cos x, -\cos x, \cos x) = (e^{-y}\cos x, -e^{-y}\cos x, e^{-y}\cos x)$

$\nabla \cdot A = \frac{\partial}{\partial x}(e^{-y}\cos x) + \frac{\partial}{\partial y}(-e^{-y}\cos x) + \frac{\partial}{\partial z}(e^{-y}\cos x) = -e^{-y}\sin x + e^{-y}\cos x + 0 = e^{-y}(\cos x - \sin x)$

$\nabla \times A = (\frac{\partial}{\partial y}(e^{-y}\cos x) - \frac{\partial}{\partial z}(-e^{-y}\cos x), \frac{\partial}{\partial z}(e^{-y}\cos x) - \frac{\partial}{\partial x}(e^{-y}\cos x), \frac{\partial}{\partial x}(-e^{-y}\cos x) - \frac{\partial}{\partial y}(e^{-y}\cos x)) = (-e^{-y}\cos x - 0, 0 - (-e^{-y}\sin x), e^{-y}\sin x - (-e^{-y}\cos x)) = (-e^{-y}\cos x, e^{-y}\sin x, e^{-y}(\sin x + \cos x))$

(2) $B = (x \sin y, 2x \cos y, 2z^2)$

$\nabla \cdot B = \frac{\partial}{\partial x}(x \sin y) + \frac{\partial}{\partial y}(2x \cos y) + \frac{\partial}{\partial z}(2z^2) = \sin y - 2x \sin y + 4z = (1 - 2x)\sin y + 4z$

$\nabla \times B = (\frac{\partial}{\partial y}(2z^2) - \frac{\partial}{\partial z}(2x \cos y), \frac{\partial}{\partial z}(x \sin y) - \frac{\partial}{\partial x}(2z^2), \frac{\partial}{\partial x}(2x \cos y) - \frac{\partial}{\partial y}(x \sin y)) = (0 - 0, 0 - 0, 2\cos y - x\cos y) = (0, 0, (2 - x)\cos y)$

(3) $C = (\cos x \sin y, \sin x \cos y, \cos x \sin y)$

$\nabla \cdot C = \frac{\partial}{\partial x}(\cos x \sin y) + \frac{\partial}{\partial y}(\sin x \cos y) + \frac{\partial}{\partial z}(\cos x \sin y) = -\sin x \sin y - \sin x \sin y + 0 = -2\sin x \sin y$

$\nabla \times C = (\frac{\partial}{\partial y}(\cos x \sin y) - \frac{\partial}{\partial z}(\sin x \cos y), \frac{\partial}{\partial z}(\cos x \sin y) - \frac{\partial}{\partial x}(\cos x \sin y), \frac{\partial}{\partial x}(\sin x \cos y) - \frac{\partial}{\partial y}(\cos x \sin y)) = (\cos x \cos y - 0, 0 - (-\sin x \sin y), \cos x \cos y - \cos x \cos y) = (\cos x \cos y, \sin x \sin y, 0)$

3. **最終的な答え**

(1) $\nabla \cdot A = e^{-y}(\cos x - \sin x)$, $\nabla \times A = (-e^{-y}\cos x, e^{-y}\sin x, e^{-y}(\sin x + \cos x))$

(2) $\nabla \cdot B = (1 - 2x)\sin y + 4z$, $\nabla \times B = (0, 0, (2 - x)\cos y)$

(3) $\nabla \cdot C = -2\sin x \sin y$, $\nabla \times C = (\cos x \cos y, \sin x \sin y, 0)$

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4. 位置ベクトル場

1. **問題の内容**

位置ベクトル場 $r = (x, y, z), r = |r|$ について、以下を $r$ および $r$ を用いて表します。

(1) $\nabla r$

(2) $\nabla^2 r$

(3) $\nabla \times (rr)$

(4) $\nabla (r^2 e^{-r})$

2. **解き方の手順**

* $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

(1) $\nabla r = (\frac{\partial r}{\partial x}, \frac{\partial r}{\partial y}, \frac{\partial r}{\partial z}) = (\frac{x}{r}, \frac{y}{r}, \frac{z}{r}) = \frac{1}{r}(x, y, z) = \frac{r}{r}$

(2) $\nabla^2 r = \nabla \cdot (\nabla r) = \nabla \cdot (\frac{r}{r}) = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{x}{r}) + \frac{\partial}{\partial y}(\frac{y}{r}) + \frac{\partial}{\partial z}(\frac{z}{r}) = \frac{1}{r} - \frac{x^2}{r^3} + \frac{1}{r} - \frac{y^2}{r^3} + \frac{1}{r} - \frac{z^2}{r^3} = \frac{3}{r} - \frac{x^2 + y^2 + z^2}{r^3} = \frac{3}{r} - \frac{r^2}{r^3} = \frac{3}{r} - \frac{1}{r} = \frac{2}{r}$

(3) $\nabla \times (rr) = \nabla \times (r(x, y, z)) = \nabla \times (rx, ry, rz) = (\frac{\partial}{\partial y}(rz) - \frac{\partial}{\partial z}(ry), \frac{\partial}{\partial z}(rx) - \frac{\partial}{\partial x}(rz), \frac{\partial}{\partial x}(ry) - \frac{\partial}{\partial y}(rx)) = (z\frac{\partial r}{\partial y} + r\frac{\partial z}{\partial y} - y\frac{\partial r}{\partial z} - r\frac{\partial y}{\partial z}, x\frac{\partial r}{\partial z} + r\frac{\partial x}{\partial z} - z\frac{\partial r}{\partial x} - r\frac{\partial z}{\partial x}, y\frac{\partial r}{\partial x} + r\frac{\partial y}{\partial x} - x\frac{\partial r}{\partial y} - r\frac{\partial x}{\partial y}) = (z\frac{y}{r} - y\frac{z}{r}, x\frac{z}{r} - z\frac{x}{r}, y\frac{x}{r} - x\frac{y}{r}) = (0, 0, 0) = 0$

(4) $\nabla (r^2 e^{-r}) = (2re^{-r} \frac{\partial r}{\partial x} - r^2 e^{-r}\frac{\partial r}{\partial x}, 2re^{-r} \frac{\partial r}{\partial y} - r^2 e^{-r}\frac{\partial r}{\partial y}, 2re^{-r} \frac{\partial r}{\partial z} - r^2 e^{-r}\frac{\partial r}{\partial z}) = (2re^{-r} \frac{x}{r} - r^2 e^{-r}\frac{x}{r}, 2re^{-r} \frac{y}{r} - r^2 e^{-r}\frac{y}{r}, 2re^{-r} \frac{z}{r} - r^2 e^{-r}\frac{z}{r}) = (2e^{-r}x - re^{-r}x, 2e^{-r}y - re^{-r}y, 2e^{-r}z - re^{-r}z) = e^{-r}(2 - r)(x, y, z) = e^{-r}(2 - r)r$

3. **最終的な答え**

(1) $\nabla r = \frac{r}{r}$

(2) $\nabla^2 r = \frac{2}{r}$

(3) $\nabla \times (rr) = 0$

(4) $\nabla (r^2 e^{-r}) = e^{-r}(2 - r)r$