ある企業の費用関数 $C(X)$ が $C(X) = 2X^2 + 6X$ で与えられています。価格が30であるとき、この企業が利潤を最大にする生産量 $X$ における供給の価格弾力性を計算します。限界費用 $MC$ は $MC = 4X + 6$ です。

1. 問題の内容

ある企業の費用関数 $C(X)$ が $C(X) = 2X^2 + 6X$ で与えられています。価格が30であるとき、この企業が利潤を最大にする生産量 $X$ における供給の価格弾力性を計算します。限界費用 $MC$ は $MC = 4X + 6$ です。

2. 解き方の手順

(1) 利潤を最大にする生産量を求める。利潤最大化の条件は、価格 $P$ と限界費用 $MC$ が等しくなることです。

$P = MC$

$30 = 4X + 6$

$4X = 24$

$X = 6$

したがって、利潤を最大にする生産量は6です。

(2) 供給の価格弾力性を計算する。供給の価格弾力性 $E_s$ は、価格の変化率に対する供給量の変化率として定義されます。

$E_s = \frac{dQ/Q}{dP/P} = \frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q}$

ここで、$Q$ は供給量、$P$ は価格です。

供給曲線は限界費用曲線と同じであるため、$\frac{dQ}{dP}$ は限界費用曲線の逆数の傾きです。

$MC = 4X + 6$ より、$X = \frac{MC - 6}{4}$

したがって、$\frac{dX}{dMC} = \frac{1}{4}$

利潤を最大にする生産量において、$MC = P = 30$、 $X = Q = 6$ です。

よって、供給の価格弾力性は、

$E_s = \frac{1}{4} \cdot \frac{30}{6} = \frac{30}{24} = \frac{5}{4} = 1.25$

3. 最終的な答え

供給の価格弾力性は1.25です。