一様な電場 $\mathbf{E}$ と磁束密度 $\mathbf{B}$ の空間中を速度 $\mathbf{v}$ で移動する荷電粒子の運動方程式が与えられている。この運動方程式は $m \frac{d\mathbf{v}}{dt} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})$ であり、ここで $m$ と $q$ はそれぞれ荷電粒子の質量と電荷である。$\mathbf{E}$ と $\mathbf{B}$ が直交する場合、速度 $\mathbf{v}$ を別の速度 $\mathbf{w}$ を用いて $\mathbf{v} = \mathbf{w} + \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{B}}{B^2}$ と表すとき、$\mathbf{w}$ についての運動方程式を求める。

1. 問題の内容

一様な電場 $\mathbf{E}$ と磁束密度 $\mathbf{B}$ の空間中を速度 $\mathbf{v}$ で移動する荷電粒子の運動方程式が与えられている。この運動方程式は $m \frac{d\mathbf{v}}{dt} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})$ であり、ここで $m$ と $q$ はそれぞれ荷電粒子の質量と電荷である。$\mathbf{E}$ と $\mathbf{B}$ が直交する場合、速度 $\mathbf{v}$ を別の速度 $\mathbf{w}$ を用いて $\mathbf{v} = \mathbf{w} + \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{B}}{B^2}$ と表すとき、$\mathbf{w}$ についての運動方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\mathbf{v} = \mathbf{w} + \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{B}}{B^2}$ を時間で微分して、$d\mathbf{v}/dt$ を $\mathbf{w}$ で表します。$\mathbf{E}$ と $\mathbf{B}$ は定数なので、

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\frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d\mathbf{w}}{dt} + \frac{d}{dt} \left(\frac{\mathbf{E} \times \mathbf{B}}{B^2}\right) = \frac{d\mathbf{w}}{dt}

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(2) 次に、$\mathbf{v} = \mathbf{w} + \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{B}}{B^2}$ を運動方程式に代入します。

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m \frac{d\mathbf{v}}{dt} = q \left(\mathbf{E} + \left(\mathbf{w} + \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{B}}{B^2}\right) \times \mathbf{B}\right)

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(3) これを $\frac{d\mathbf{w}}{dt}$ について解きます。

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m \frac{d\mathbf{w}}{dt} = q \left(\mathbf{E} + \mathbf{w} \times \mathbf{B} + \frac{(\mathbf{E} \times \mathbf{B}) \times \mathbf{B}}{B^2} \right)

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(4) ベクトル三重積 $(\mathbf{E} \times \mathbf{B}) \times \mathbf{B}$ を計算します。$\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = (\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}) \mathbf{B} - (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) \mathbf{C}$ という公式を利用すると、

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(\mathbf{E} \times \mathbf{B}) \times \mathbf{B} = (\mathbf{E} \cdot \mathbf{B}) \mathbf{B} - (\mathbf{B} \cdot \mathbf{B}) \mathbf{E} = (\mathbf{E} \cdot \mathbf{B}) \mathbf{B} - B^2 \mathbf{E}

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$\mathbf{E}$ と $\mathbf{B}$ は直交しているので、$\mathbf{E} \cdot \mathbf{B} = 0$。したがって、

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(\mathbf{E} \times \mathbf{B}) \times \mathbf{B} = -B^2 \mathbf{E}

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(5) これを運動方程式に代入します。

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m \frac{d\mathbf{w}}{dt} = q \left(\mathbf{E} + \mathbf{w} \times \mathbf{B} + \frac{-B^2 \mathbf{E}}{B^2}\right) = q \left(\mathbf{E} + \mathbf{w} \times \mathbf{B} - \mathbf{E}\right) = q (\mathbf{w} \times \mathbf{B})

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したがって、

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m \frac{d\mathbf{w}}{dt} = q (\mathbf{w} \times \mathbf{B})

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3. 最終的な答え

$\mathbf{w}$ についての運動方程式は

$m \frac{d\mathbf{w}}{dt} = q (\mathbf{w} \times \mathbf{B})$