問題は3つの小問から構成されています。 [1] 3次元ベクトル $\vec{a}=(2,0,0)$, $\vec{b}=(1,2,0)$, $\vec{c}=(0,3,2)$ が与えられたとき、外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ と $\vec{b} \times \vec{c}$ を計算し、$\vec{a},\vec{b}$ を一辺とする平行四辺形の面積と、$\vec{b},\vec{c}$ を一辺とする平行四辺形の面積を求めます。 [2] 質量 $m$ の物体が、位置ベクトル $\vec{r}=a\vec{i} + h\vec{k}$ にあり、速度 $\vec{v}$ で運動している。物体には重力 $-mg\vec{k}$ が働いているとき、原点まわりの角運動量 $\vec{L}$ と力のモーメント $\vec{N}$ を求めます。ただし、$\vec{N}$ は $g$ を含む式で表すこと。固定点 $Q$ の位置を $(a,0,0)$ とするとき、点 $Q$ まわりの角運動量 $\vec{L}_Q$ と力のモーメント $\vec{N}_Q$ を求めます。 [3] 質量 $m$ の惑星が、$\vec{r} = R\vec{e}_r$ にあり、速度 $\vec{v} = \omega R \vec{e}_{\theta}$ で運動している。惑星には万有引力 $-(GmM/R^2) \vec{e}_r$ が働いている。原点まわりの惑星の角運動量 $\vec{L}$ と、万有引力のモーメント $\vec{N}$ を求めます。

1. 問題の内容

問題は3つの小問から構成されています。

[1] 3次元ベクトル $\vec{a}=(2,0,0)$, $\vec{b}=(1,2,0)$, $\vec{c}=(0,3,2)$ が与えられたとき、外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ と $\vec{b} \times \vec{c}$ を計算し、$\vec{a},\vec{b}$ を一辺とする平行四辺形の面積と、$\vec{b},\vec{c}$ を一辺とする平行四辺形の面積を求めます。

[2] 質量 $m$ の物体が、位置ベクトル $\vec{r}=a\vec{i} + h\vec{k}$ にあり、速度 $\vec{v}$ で運動している。物体には重力 $-mg\vec{k}$ が働いているとき、原点まわりの角運動量 $\vec{L}$ と力のモーメント $\vec{N}$ を求めます。ただし、$\vec{N}$ は $g$ を含む式で表すこと。固定点 $Q$ の位置を $(a,0,0)$ とするとき、点 $Q$ まわりの角運動量 $\vec{L}_Q$ と力のモーメント $\vec{N}_Q$ を求めます。

[3] 質量 $m$ の惑星が、$\vec{r} = R\vec{e}_r$ にあり、速度 $\vec{v} = \omega R \vec{e}_{\theta}$ で運動している。惑星には万有引力 $-(GmM/R^2) \vec{e}_r$ が働いている。原点まわりの惑星の角運動量 $\vec{L}$ と、万有引力のモーメント $\vec{N}$ を求めます。

2. 解き方の手順

[1] (1) 外積の計算

外積は以下の式で計算できます。

$\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$

したがって、

$\vec{a} \times \vec{b} = (0\cdot0 - 0\cdot2, 0\cdot1 - 2\cdot0, 2\cdot2 - 0\cdot1) = (0,0,4)$

$\vec{b} \times \vec{c} = (2\cdot2 - 0\cdot3, 0\cdot0 - 1\cdot2, 1\cdot3 - 2\cdot0) = (4,-2,3)$

(2) 平行四辺形の面積の計算

平行四辺形の面積は、2つのベクトルの外積の絶対値で求められます。

$S_{ab} = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 4^2} = 4$

$S_{bc} = |\vec{b} \times \vec{c}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 4 + 9} = \sqrt{29}$

[2] (1) 原点まわりの角運動量 $\vec{L}$ と力のモーメント $\vec{N}$ の計算

角運動量 $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v}) = m (\vec{r} \times \vec{v})$

力のモーメント $\vec{N} = \vec{r} \times \vec{F} = (a\vec{i} + h\vec{k}) \times (-mg\vec{k}) = -amg (\vec{i} \times \vec{k}) - hmg (\vec{k} \times \vec{k}) = -amg(-\vec{j}) - 0 = amg\vec{j}$

(2) 点Qまわりの角運動量 $\vec{L}_Q$ と力のモーメント $\vec{N}_Q$ の計算

$\vec{r'} = \vec{r} - \vec{r}_Q = (a\vec{i} + h\vec{k}) - a\vec{i} = h\vec{k}$

$\vec{L}_Q = \vec{r'} \times (m\vec{v}) = (h\vec{k}) \times (m\vec{v}) = mh(\vec{k} \times \vec{v})$

$\vec{N}_Q = \vec{r'} \times \vec{F} = (h\vec{k}) \times (-mg\vec{k}) = -hmg (\vec{k} \times \vec{k}) = 0$

[3] (1) 原点まわりの角運動量 $\vec{L}$ の計算

$\vec{L} = \vec{r} \times (m\vec{v}) = R\vec{e}_r \times (m\omega R \vec{e}_{\theta}) = m\omega R^2 (\vec{e}_r \times \vec{e}_{\theta}) = m\omega R^2 \vec{k}$

(2) 万有引力のモーメント $\vec{N}$ の計算

$\vec{N} = \vec{r} \times \vec{F} = R\vec{e}_r \times (-\frac{GmM}{R^2} \vec{e}_r) = -\frac{GmM}{R} (\vec{e}_r \times \vec{e}_r) = 0$

3. 最終的な答え

[1] (1)

$\vec{a} \times \vec{b} = (0, 0, 4)$

$\vec{b} \times \vec{c} = (4, -2, 3)$

(2)

$S_{ab} = 4$

$S_{bc} = \sqrt{29}$

[2] (1)

$\vec{L} = m (\vec{r} \times \vec{v})$

$\vec{N} = amg\vec{j}$

(2)

$\vec{L}_Q = mh(\vec{k} \times \vec{v})$

$\vec{N}_Q = 0$

[3] (1)

$\vec{L} = m\omega R^2 \vec{k}$

(2)

$\vec{N} = 0$