質量 $m$ の物体が位置ベクトル $\vec{r} = a\vec{i} + h\vec{k}$ にあり、速度 $\vec{v} = v\vec{k}$ で運動している。物体には重力 $-mg\vec{k}$ が働いている。このとき、原点まわりの物体の角運動量 $\vec{L}$ と力のモーメント $\vec{N}$ を求める。ただし、$\vec{N}$ は $g$ を含む式で表す。

応用数学ベクトル角運動量力のモーメント物理学
2025/7/22

1. 問題の内容

質量 mm の物体が位置ベクトル r=ai+hk\vec{r} = a\vec{i} + h\vec{k} にあり、速度 v=vk\vec{v} = v\vec{k} で運動している。物体には重力 mgk-mg\vec{k} が働いている。このとき、原点まわりの物体の角運動量 L\vec{L} と力のモーメント N\vec{N} を求める。ただし、N\vec{N}gg を含む式で表す。

2. 解き方の手順

(1) 角運動量 L\vec{L} は、位置ベクトル r\vec{r} と運動量 p=mv\vec{p}=m\vec{v} の外積で与えられる。
L=r×p=r×(mv)\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})
与えられた r=ai+hk\vec{r}=a\vec{i} + h\vec{k}v=vk\vec{v}=v\vec{k} を代入すると、
L=(ai+hk)×(mvk)\vec{L} = (a\vec{i} + h\vec{k}) \times (mv\vec{k})
L=am(i×vk)+hm(k×vk)\vec{L} = am (\vec{i} \times v\vec{k}) + hm (\vec{k} \times v\vec{k})
ここで、i×k=j\vec{i} \times \vec{k} = -\vec{j} かつ k×k=0\vec{k} \times \vec{k} = \vec{0} であるから、
L=amvj\vec{L} = -amv\vec{j}
(2) 力のモーメント N\vec{N} は、位置ベクトル r\vec{r} と力 F\vec{F} の外積で与えられる。
N=r×F\vec{N} = \vec{r} \times \vec{F}
与えられた r=ai+hk\vec{r}=a\vec{i} + h\vec{k}F=mgk\vec{F}=-mg\vec{k} を代入すると、
N=(ai+hk)×(mgk)\vec{N} = (a\vec{i} + h\vec{k}) \times (-mg\vec{k})
N=a(i×(mgk))+h(k×(mgk))\vec{N} = a(\vec{i} \times (-mg\vec{k})) + h(\vec{k} \times (-mg\vec{k}))
N=amg(i×k)hmg(k×k)\vec{N} = -amg (\vec{i} \times \vec{k}) - hmg (\vec{k} \times \vec{k})
ここで、i×k=j\vec{i} \times \vec{k} = -\vec{j} かつ k×k=0\vec{k} \times \vec{k} = \vec{0} であるから、
N=amgj\vec{N} = amg\vec{j}

3. 最終的な答え

角運動量 L\vec{L} は、
L=amvj\vec{L} = -amv\vec{j}
力のモーメント N\vec{N} は、
N=amgj\vec{N} = amg\vec{j}

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