原点にある点電荷 $q$ による静電場 $\vec{E} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r}}{r^3}$ の回転 $\nabla \times \vec{E}$ が $\vec{0}$ であることを示す。

1. 問題の内容

原点にある点電荷 $q$ による静電場 $\vec{E} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r}}{r^3}$ の回転 $\nabla \times \vec{E}$ が $\vec{0}$ であることを示す。

2. 解き方の手順

静電場 $\vec{E}$ の回転を計算します。直交座標系で $\vec{r} = (x, y, z)$ とすると、$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ です。また、$\vec{E} = (E_x, E_y, E_z)$ は、

$E_x = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{x}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}$

$E_y = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{y}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}$

$E_z = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{z}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}$

と表されます。

回転 $\nabla \times \vec{E}$ は以下のように計算されます。

$\nabla \times \vec{E} = (\frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z}, \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x}, \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y})$

まず、$\frac{\partial E_z}{\partial y}$ を計算します。

$\frac{\partial E_z}{\partial y} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\partial}{\partial y} (\frac{z}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} z (-\frac{3}{2}) (x^2 + y^2 + z^2)^{-5/2} (2y) = -\frac{3q}{4\pi\epsilon_0} \frac{yz}{(x^2 + y^2 + z^2)^{5/2}}$

次に、$\frac{\partial E_y}{\partial z}$ を計算します。

$\frac{\partial E_y}{\partial z} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\partial}{\partial z} (\frac{y}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} y (-\frac{3}{2}) (x^2 + y^2 + z^2)^{-5/2} (2z) = -\frac{3q}{4\pi\epsilon_0} \frac{yz}{(x^2 + y^2 + z^2)^{5/2}}$

よって、$\frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z} = 0$

同様に計算すると、

$\frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} = 0$

となることがわかります。

したがって、$\nabla \times \vec{E} = (0, 0, 0) = \vec{0}$

3. 最終的な答え

$\nabla \times \vec{E} = \vec{0}$

したがって、rot $\vec{E}$ = $\vec{0}$ が示されました。