あるテーマパークの開園前から行列ができており、開園後も1分間に一定の割合で人が増える。5個の窓口では30分で行列がなくなり、8個の窓口では15分で行列がなくなる。12個の窓口では何分で行列がなくなるかを求める問題。ただし、1つの窓口で1分間に対応できる人数は同じとする。

1. 問題の内容

あるテーマパークの開園前から行列ができており、開園後も1分間に一定の割合で人が増える。5個の窓口では30分で行列がなくなり、8個の窓口では15分で行列がなくなる。12個の窓口では何分で行列がなくなるかを求める問題。ただし、1つの窓口で1分間に対応できる人数は同じとする。

2. 解き方の手順

まず、変数を定義する。

- $x$: 開園前に並んでいる人数

- $y$: 1分間に増える人数

- $z$: 1つの窓口で1分間に対応できる人数

問題文より、以下の2つの式が成り立つ。

$x + 30y = 5 \times 30z$

$x + 15y = 8 \times 15z$

上記の式を整理すると以下のようになる。

$x + 30y = 150z$

$x + 15y = 120z$

上記の2つの式を引き算すると、

$15y = 30z$

$y = 2z$

$y = 2z$ を最初の式に代入すると、

$x + 30(2z) = 150z$

$x + 60z = 150z$

$x = 90z$

求める時間を $t$ とすると、以下の式が成り立つ。

$x + ty = 12tz$

$x = 90z$と$y = 2z$を上記の式に代入すると、

$90z + t(2z) = 12tz$

$90z + 2tz = 12tz$

$90z = 10tz$

両辺を $10z$ で割ると、

$9 = t$

したがって、12個の窓口では9分で行列がなくなる。

3. 最終的な答え

9分