与えられた4つの不等式 $x \geq 0$, $y \geq 0$, $3x+2y \leq 24$, $x+3y \leq 15$ を同時に満たす領域において、以下の問題を解く。 (1) 4つの不等式を満たす領域を図示する。 (2) $x+y$ の最大値と最小値を求める。 (3) $2x-5y$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

与えられた4つの不等式 $x \geq 0$, $y \geq 0$, $3x+2y \leq 24$, $x+3y \leq 15$ を同時に満たす領域において、以下の問題を解く。

(1) 4つの不等式を満たす領域を図示する。

(2) $x+y$ の最大値と最小値を求める。

(3) $2x-5y$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 領域の図示：

まず、各不等式を座標平面上に図示する。

$x \geq 0$ は $y$ 軸より右側の領域を示す。

$y \geq 0$ は $x$ 軸より上側の領域を示す。

$3x+2y \leq 24$ は直線 $3x+2y = 24$ の下側の領域を示す。

$x+3y \leq 15$ は直線 $x+3y = 15$ の下側の領域を示す。

これら4つの不等式を同時に満たす領域は、これらの領域の共通部分である。

領域の境界線の交点の座標を求める。

$3x+2y = 24$ と $x+3y = 15$ の交点を求める：

$3(15-3y) + 2y = 24$

$45 - 9y + 2y = 24$

$21 = 7y$

$y = 3$

$x = 15 - 3(3) = 15 - 9 = 6$

交点は $(6, 3)$

$3x+2y=24$と$x=0$の交点は$(0, 12)$

$3x+2y=24$と$y=0$の交点は$(8, 0)$

$x+3y=15$と$x=0$の交点は$(0, 5)$

$x+3y=15$と$y=0$の交点は$(15, 0)$

したがって領域の頂点は$(0,0)$, $(8,0)$, $(6,3)$, $(0,5)$

(2) $x+y$ の最大値と最小値：

$k = x+y$ とおく。これは傾き $-1$ の直線である。

この直線が領域と交わりを持つように $k$ の値を変化させ、最大値と最小値を求める。

領域の頂点で $x+y$ の値を確認する。

$(0, 0)$ で $x+y = 0$

$(8, 0)$ で $x+y = 8$

$(6, 3)$ で $x+y = 9$

$(0, 5)$ で $x+y = 5$

したがって、$x+y$ の最大値は 9, 最小値は 0

(3) $2x-5y$ の最大値と最小値：

$l = 2x - 5y$ とおく。

領域の頂点で $2x-5y$ の値を確認する。

$(0, 0)$ で $2x-5y = 0$

$(8, 0)$ で $2x-5y = 16$

$(6, 3)$ で $2x-5y = 12 - 15 = -3$

$(0, 5)$ で $2x-5y = -25$

したがって、$2x-5y$ の最大値は 16, 最小値は -25

3. 最終的な答え

(1) 領域は、点 $(0,0)$, $(8,0)$, $(6,3)$, $(0,5)$ を頂点とする四角形の内部（境界を含む）。

(2) $x+y$ の最大値: 9, 最小値: 0

(3) $2x-5y$ の最大値: 16, 最小値: -25