複数の物理と数学の問題が出題されています。具体的には、ベクトルの演算、関数の微分、運動学、ニュートンの運動法則などに関する問題が含まれています。

応用数学ベクトル微分運動学ニュートンの運動法則力学
2025/7/22

1. 問題の内容

複数の物理と数学の問題が出題されています。具体的には、ベクトルの演算、関数の微分、運動学、ニュートンの運動法則などに関する問題が含まれています。

2. 解き方の手順

各問題について、以下のように解いていきます。
**問題1:**
(1) ベクトル A の大きさ A|A| は、各成分の二乗の和の平方根で求めます。
A=12+22+(4)2|A| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-4)^2}
(2) ベクトル B の方向の単位ベクトル B^\hat{B} は、B をその大きさ B|B| で割ることで求めます。
まず、B=22+(1)2+22|B| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} を計算し、次に B^=BB\hat{B} = \frac{B}{|B|} を計算します。
(3) ベクトル A と B のスカラー積(内積) ABA \cdot B は、対応する成分の積の和で求めます。
AB=(1)(2)+(2)(1)+(4)(2)A \cdot B = (1)(2) + (2)(-1) + (-4)(2)
**問題2:**
各関数を x で微分します。
f(x)=cos(ax)f(x) = \cos(ax) の導関数 f(x)f'(x) は、合成関数の微分を使って求めます。
f(x)=asin(ax)f'(x) = -a\sin(ax)
g(x)=xexg(x) = xe^x の導関数 g(x)g'(x) は、積の微分を使って求めます。
g(x)=ex+xex=(x+1)exg'(x) = e^x + xe^x = (x+1)e^x
h(x)=x2+1h(x) = \sqrt{x^2+1} の導関数 h(x)h'(x) は、合成関数の微分を使って求めます。
h(x)=12x2+1(2x)=xx2+1h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}(2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}
**問題3:**
位置 x(t)x(t) が与えられているので、速度 v(t)v(t)x(t)x(t) の時間微分、加速度 a(t)a(t)v(t)v(t) の時間微分で求めます。
x(t)=(13t)2=16t+9t2x(t) = (1-3t)^2 = 1 - 6t + 9t^2
v(t)=dx(t)dt=6+18tv(t) = \frac{dx(t)}{dt} = -6 + 18t
a(t)=dv(t)dt=18a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = 18
**問題4:**
位置ベクトル r(t)r(t) が与えられているので、速度 v(t)v(t)r(t)r(t) の時間微分、加速度 a(t)a(t)v(t)v(t) の時間微分で求めます。
r(t)=tex+12t2eyr(t) = te_x + \frac{1}{2}t^2 e_y
v(t)=dr(t)dt=ex+teyv(t) = \frac{dr(t)}{dt} = e_x + t e_y
a(t)=dv(t)dt=eya(t) = \frac{dv(t)}{dt} = e_y
**問題5:**
位置ベクトル r(t)r(t) が与えられているので、速度 v(t)v(t)r(t)r(t) の時間微分、加速度 a(t)a(t)v(t)v(t) の時間微分で求めます。
r(t)=Rcos(ωt)ex+Rsin(ωt)eyr(t) = R\cos(\omega t)e_x + R\sin(\omega t)e_y
v(t)=dr(t)dt=Rωsin(ωt)ex+Rωcos(ωt)eyv(t) = \frac{dr(t)}{dt} = -R\omega \sin(\omega t)e_x + R\omega \cos(\omega t)e_y
a(t)=dv(t)dt=Rω2cos(ωt)exRω2sin(ωt)ey=ω2r(t)a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = -R\omega^2 \cos(\omega t)e_x - R\omega^2 \sin(\omega t)e_y = -\omega^2 r(t)
**問題6:**
等速度運動なので、合力は 0 です。
**問題7:**
ニュートンの運動方程式 F=maF = ma を使います。
質量 m=60m = 60 kg、加速度 a=5a = 5 m/s2^2 なので、必要な力 F=60×5F = 60 \times 5 N を計算します。

3. 最終的な答え

**問題1:**
(1) A=21|A| = \sqrt{21}
(2) B^=23ex13ey+23ez\hat{B} = \frac{2}{3}e_x - \frac{1}{3}e_y + \frac{2}{3}e_z
(3) AB=8A \cdot B = -8
**問題2:**
f(x)=asin(ax)f'(x) = -a\sin(ax)
g(x)=(x+1)exg'(x) = (x+1)e^x
h(x)=xx2+1h'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}
**問題3:**
v(t)=6+18tv(t) = -6 + 18t
a(t)=18a(t) = 18
**問題4:**
v(t)=ex+teyv(t) = e_x + te_y
a(t)=eya(t) = e_y
**問題5:**
v(t)=Rωsin(ωt)ex+Rωcos(ωt)eyv(t) = -R\omega \sin(\omega t)e_x + R\omega \cos(\omega t)e_y
a(t)=Rω2cos(ωt)exRω2sin(ωt)eya(t) = -R\omega^2 \cos(\omega t)e_x - R\omega^2 \sin(\omega t)e_y
**問題6:**
0 N
**問題7:**
300 N

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