ベクトル場 $\mathbf{A} = (xy^2, -\log(x^2 + y^2), \sin(yz))$ に対して、$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A})$ を求める。

1. 問題の内容

ベクトル場 $\mathbf{A} = (xy^2, -\log(x^2 + y^2), \sin(yz))$ に対して、$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A})$ を求める。

2. 解き方の手順

$\nabla \times \mathbf{A}$ をまず計算します。$\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)$ とすると、

$\nabla \times \mathbf{A} = \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}, \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}, \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right)$

です。

$A_x = xy^2, \quad A_y = -\log(x^2+y^2), \quad A_z = \sin(yz)$

より、それぞれの偏微分を計算します。

$\frac{\partial A_z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \sin(yz) = z\cos(yz)$

$\frac{\partial A_y}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (-\log(x^2+y^2)) = 0$

$\frac{\partial A_x}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (xy^2) = 0$

$\frac{\partial A_z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \sin(yz) = 0$

$\frac{\partial A_y}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (-\log(x^2+y^2)) = -\frac{2x}{x^2+y^2}$

$\frac{\partial A_x}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (xy^2) = 2xy$

したがって、

$\nabla \times \mathbf{A} = \left( z\cos(yz) - 0, 0 - 0, -\frac{2x}{x^2+y^2} - 2xy \right) = \left( z\cos(yz), 0, -\frac{2x}{x^2+y^2} - 2xy \right)$

となります。

次に、$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A})$ を計算します。$\nabla \times \mathbf{A} = (B_x, B_y, B_z)$ とすると、

$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z}$

です。

$B_x = z\cos(yz), \quad B_y = 0, \quad B_z = -\frac{2x}{x^2+y^2} - 2xy$

より、それぞれの偏微分を計算します。

$\frac{\partial B_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} z\cos(yz) = 0$

$\frac{\partial B_y}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (0) = 0$

$\frac{\partial B_z}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left(-\frac{2x}{x^2+y^2} - 2xy \right) = 0$

したがって、

$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0 + 0 + 0 = 0$

となります。

一般に、$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

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