ベクトル場 $\mathbf{a} = (xy, yz, zx)$ が与えられたとき、以下の量を求める問題です。 (1) $\nabla \cdot \mathbf{a}$ (発散) (2) $\nabla \times \mathbf{a}$ (回転) (3) $\nabla (\nabla \cdot \mathbf{a})$ (発散の勾配) (4) $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{a})$ (回転の回転)

1. 問題の内容

ベクトル場 $\mathbf{a} = (xy, yz, zx)$ が与えられたとき、以下の量を求める問題です。

(1) $\nabla \cdot \mathbf{a}$ (発散)

(2) $\nabla \times \mathbf{a}$ (回転)

(3) $\nabla (\nabla \cdot \mathbf{a})$ (発散の勾配)

(4) $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{a})$ (回転の回転)

2. 解き方の手順

(1) 発散 $\nabla \cdot \mathbf{a}$ を求める。

$\nabla \cdot \mathbf{a} = \frac{\partial}{\partial x}(xy) + \frac{\partial}{\partial y}(yz) + \frac{\partial}{\partial z}(zx)$

(2) 回転 $\nabla \times \mathbf{a}$ を求める。

$\nabla \times \mathbf{a} = \left( \frac{\partial}{\partial y}(zx) - \frac{\partial}{\partial z}(yz), \frac{\partial}{\partial z}(xy) - \frac{\partial}{\partial x}(zx), \frac{\partial}{\partial x}(yz) - \frac{\partial}{\partial y}(xy) \right)$

(3) 発散の勾配 $\nabla (\nabla \cdot \mathbf{a})$ を求める。まず $\nabla \cdot \mathbf{a}$ を計算し、その結果に対して勾配を計算する。

$\nabla (\nabla \cdot \mathbf{a}) = \left( \frac{\partial}{\partial x} (\nabla \cdot \mathbf{a}), \frac{\partial}{\partial y} (\nabla \cdot \mathbf{a}), \frac{\partial}{\partial z} (\nabla \cdot \mathbf{a}) \right)$

(4) 回転の回転 $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{a})$ を求める。まず $\nabla \times \mathbf{a}$ を計算し、その結果に対して回転を計算する。

$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{a}) = \left( \frac{\partial}{\partial y} (\nabla \times \mathbf{a})_z - \frac{\partial}{\partial z} (\nabla \times \mathbf{a})_y, \frac{\partial}{\partial z} (\nabla \times \mathbf{a})_x - \frac{\partial}{\partial x} (\nabla \times \mathbf{a})_z, \frac{\partial}{\partial x} (\nabla \times \mathbf{a})_y - \frac{\partial}{\partial y} (\nabla \times \mathbf{a})_x \right)$

計算を実行します。

(1) $\nabla \cdot \mathbf{a} = \frac{\partial}{\partial x}(xy) + \frac{\partial}{\partial y}(yz) + \frac{\partial}{\partial z}(zx) = y + z + x$

(2) $\nabla \times \mathbf{a} = (0 - y, 0 - z, 0 - x) = (-y, -z, -x)$

(3) $\nabla (\nabla \cdot \mathbf{a}) = \nabla (x + y + z) = (1, 1, 1)$

(4) $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{a}) = \nabla \times (-y, -z, -x) = \left( \frac{\partial}{\partial y}(-x) - \frac{\partial}{\partial z}(-z), \frac{\partial}{\partial z}(-y) - \frac{\partial}{\partial x}(-x), \frac{\partial}{\partial x}(-z) - \frac{\partial}{\partial y}(-y) \right) = (0 - (-1), 0 - (-1), 0 - (-1)) = (1, 1, 1)$

3. 最終的な答え

(1) $\nabla \cdot \mathbf{a} = x + y + z$

(2) $\nabla \times \mathbf{a} = (-y, -z, -x)$

(3) $\nabla (\nabla \cdot \mathbf{a}) = (1, 1, 1)$

(4) $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{a}) = (1, 1, 1)$