ベクトル場 $\mathbf{r} = (x, y, z)$ と定ベクトル $\mathbf{a} = (1, 2, 3)$、$\mathbf{b} = (4, 5, 6)$ について、以下の等式が成り立つことを証明する。 (1) $\nabla \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{r}) = 0$ (2) $\nabla \times ((\mathbf{a} \cdot \mathbf{r})\mathbf{b}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b}$ (3) $\nabla \times (\mathbf{a} \times \mathbf{r}) = 2\mathbf{a}$

1. 問題の内容

ベクトル場 $\mathbf{r} = (x, y, z)$ と定ベクトル $\mathbf{a} = (1, 2, 3)$、$\mathbf{b} = (4, 5, 6)$ について、以下の等式が成り立つことを証明する。

(1) $\nabla \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{r}) = 0$

(2) $\nabla \times ((\mathbf{a} \cdot \mathbf{r})\mathbf{b}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b}$

(3) $\nabla \times (\mathbf{a} \times \mathbf{r}) = 2\mathbf{a}$

2. 解き方の手順

(1) $\nabla \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{r}) = 0$ の証明

まず、$\mathbf{a} \times \mathbf{r}$ を計算する。

$\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ とすると、

$\mathbf{a} \times \mathbf{r} = (a_2 z - a_3 y, a_3 x - a_1 z, a_1 y - a_2 x)$

次に、$\nabla \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{r})$ を計算する。

$\nabla \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{r}) = \frac{\partial}{\partial x}(a_2 z - a_3 y) + \frac{\partial}{\partial y}(a_3 x - a_1 z) + \frac{\partial}{\partial z}(a_1 y - a_2 x)$

$= 0 + 0 + 0 = 0$

したがって、$\nabla \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{r}) = 0$

(2) $\nabla \times ((\mathbf{a} \cdot \mathbf{r})\mathbf{b}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b}$ の証明

まず、$\mathbf{a} \cdot \mathbf{r}$ を計算する。

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{r} = a_1 x + a_2 y + a_3 z$

したがって、$(\mathbf{a} \cdot \mathbf{r})\mathbf{b} = (b_1(a_1 x + a_2 y + a_3 z), b_2(a_1 x + a_2 y + a_3 z), b_3(a_1 x + a_2 y + a_3 z))$

次に、$\nabla \times ((\mathbf{a} \cdot \mathbf{r})\mathbf{b})$ を計算する。

$\nabla \times ((\mathbf{a} \cdot \mathbf{r})\mathbf{b}) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ b_1(a_1 x + a_2 y + a_3 z) & b_2(a_1 x + a_2 y + a_3 z) & b_3(a_1 x + a_2 y + a_3 z) \end{vmatrix}$

$= (b_3 a_2 - b_2 a_3, b_1 a_3 - b_3 a_1, b_2 a_1 - b_1 a_2)$

これは $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ に等しい。

したがって、$\nabla \times ((\mathbf{a} \cdot \mathbf{r})\mathbf{b}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b}$

(3) $\nabla \times (\mathbf{a} \times \mathbf{r}) = 2\mathbf{a}$ の証明

$\mathbf{a} \times \mathbf{r} = (a_2 z - a_3 y, a_3 x - a_1 z, a_1 y - a_2 x)$

$\nabla \times (\mathbf{a} \times \mathbf{r}) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ a_2 z - a_3 y & a_3 x - a_1 z & a_1 y - a_2 x \end{vmatrix}$

$= (a_1 - (-a_1), a_2 - (-a_2), a_3 - (-a_3)) = (2a_1, 2a_2, 2a_3) = 2\mathbf{a}$

したがって、$\nabla \times (\mathbf{a} \times \mathbf{r}) = 2\mathbf{a}$

3. 最終的な答え

(1) $\nabla \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{r}) = 0$

(2) $\nabla \times ((\mathbf{a} \cdot \mathbf{r})\mathbf{b}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b}$

(3) $\nabla \times (\mathbf{a} \times \mathbf{r}) = 2\mathbf{a}$