$r = (x, y, z)$, $r = |r|$, $f(r)$ は $r$ の関数であるとき、以下の等式を証明する。 (1) $\nabla \cdot (f(r) \mathbf{r}) = rf'(r) + 3f(r)$ (2) $\nabla \times (f(r) \mathbf{r}) = \mathbf{0}$

1. 問題の内容

$r = (x, y, z)$, $r = |r|$, $f(r)$ は $r$ の関数であるとき、以下の等式を証明する。

(1) $\nabla \cdot (f(r) \mathbf{r}) = rf'(r) + 3f(r)$

(2) $\nabla \times (f(r) \mathbf{r}) = \mathbf{0}$

2. 解き方の手順

(1) 発散の計算

まず、$\mathbf{r} = (x, y, z)$ であるから、

$f(r) \mathbf{r} = (f(r)x, f(r)y, f(r)z)$

となる。

発散の定義より、

$\nabla \cdot (f(r) \mathbf{r}) = \frac{\partial}{\partial x}(f(r)x) + \frac{\partial}{\partial y}(f(r)y) + \frac{\partial}{\partial z}(f(r)z)$

ここで、$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ であるから、

$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}$, $\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r}$, $\frac{\partial r}{\partial z} = \frac{z}{r}$

である。

したがって、

$\frac{\partial}{\partial x}(f(r)x) = \frac{\partial f(r)}{\partial x} x + f(r) \frac{\partial x}{\partial x} = f'(r) \frac{\partial r}{\partial x} x + f(r) = f'(r) \frac{x}{r} x + f(r)$

同様に、

$\frac{\partial}{\partial y}(f(r)y) = f'(r) \frac{y}{r} y + f(r)$

$\frac{\partial}{\partial z}(f(r)z) = f'(r) \frac{z}{r} z + f(r)$

したがって、

$\nabla \cdot (f(r) \mathbf{r}) = f'(r) \frac{x^2}{r} + f(r) + f'(r) \frac{y^2}{r} + f(r) + f'(r) \frac{z^2}{r} + f(r) = f'(r) \frac{x^2 + y^2 + z^2}{r} + 3f(r) = f'(r) \frac{r^2}{r} + 3f(r) = rf'(r) + 3f(r)$

(2) 回転の計算

回転の定義より、

$\nabla \times (f(r) \mathbf{r}) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ f(r)x & f(r)y & f(r)z \end{vmatrix} = \left( \frac{\partial}{\partial y}(f(r)z) - \frac{\partial}{\partial z}(f(r)y), \frac{\partial}{\partial z}(f(r)x) - \frac{\partial}{\partial x}(f(r)z), \frac{\partial}{\partial x}(f(r)y) - \frac{\partial}{\partial y}(f(r)x) \right)$

ここで、

$\frac{\partial}{\partial y}(f(r)z) = f'(r) \frac{\partial r}{\partial y} z = f'(r) \frac{y}{r} z$

$\frac{\partial}{\partial z}(f(r)y) = f'(r) \frac{\partial r}{\partial z} y = f'(r) \frac{z}{r} y$

$\frac{\partial}{\partial z}(f(r)x) = f'(r) \frac{\partial r}{\partial z} x = f'(r) \frac{z}{r} x$

$\frac{\partial}{\partial x}(f(r)z) = f'(r) \frac{\partial r}{\partial x} z = f'(r) \frac{x}{r} z$

$\frac{\partial}{\partial x}(f(r)y) = f'(r) \frac{\partial r}{\partial x} y = f'(r) \frac{x}{r} y$

$\frac{\partial}{\partial y}(f(r)x) = f'(r) \frac{\partial r}{\partial y} x = f'(r) \frac{y}{r} x$

したがって、

$\nabla \times (f(r) \mathbf{r}) = (f'(r) \frac{yz}{r} - f'(r) \frac{yz}{r}, f'(r) \frac{zx}{r} - f'(r) \frac{zx}{r}, f'(r) \frac{xy}{r} - f'(r) \frac{xy}{r}) = (0, 0, 0) = \mathbf{0}$

3. 最終的な答え

(1) $\nabla \cdot (f(r) \mathbf{r}) = rf'(r) + 3f(r)$

(2) $\nabla \times (f(r) \mathbf{r}) = \mathbf{0}$