x-y平面上のベクトル場 $\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j}$ における、図に示された経路Cに沿った周回積分を計算し、ベクトル場 $\vec{A}$ に対するストークスの定理を説明する。

1. 問題の内容

x-y平面上のベクトル場 $\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j}$ における、図に示された経路Cに沿った周回積分を計算し、ベクトル場 $\vec{A}$ に対するストークスの定理を説明する。

2. 解き方の手順

まず、経路Cを構成する４つの線分（P→Q, Q→R, R→S, S→P）それぞれに沿った線積分を計算する。

* **経路P→Q**: この線分では $y$ が一定なので、$dy = 0$。また、$x$ は $x$ から $x + \Delta x$ まで変化する。したがって、積分は以下のようになる。

$\int_{P \to Q} \vec{A} \cdot d\vec{l} = \int_x^{x+\Delta x} A_x(x', y) dx'$

* **経路Q→R**: この線分では $x$ が一定なので、$dx = 0$。また、$y$ は $y$ から $y + \Delta y$ まで変化する。したがって、積分は以下のようになる。

$\int_{Q \to R} \vec{A} \cdot d\vec{l} = \int_y^{y+\Delta y} A_y(x+\Delta x, y') dy'$

* **経路R→S**: この線分では $y$ が一定なので、$dy = 0$。また、$x$ は $x + \Delta x$ から $x$ まで変化する。したがって、積分は以下のようになる。

$\int_{R \to S} \vec{A} \cdot d\vec{l} = \int_{x+\Delta x}^{x} A_x(x', y+\Delta y) dx'$

* **経路S→P**: この線分では $x$ が一定なので、$dx = 0$。また、$y$ は $y + \Delta y$ から $y$ まで変化する。したがって、積分は以下のようになる。

$\int_{S \to P} \vec{A} \cdot d\vec{l} = \int_{y+\Delta y}^{y} A_y(x, y') dy'$

これらの積分を全て足し合わせることで、周回積分 $\oint_C \vec{A} \cdot d\vec{l}$ が得られる。

$\oint_C \vec{A} \cdot d\vec{l} = \int_x^{x+\Delta x} A_x(x', y) dx' + \int_y^{y+\Delta y} A_y(x+\Delta x, y') dy' + \int_{x+\Delta x}^{x} A_x(x', y+\Delta y) dx' + \int_{y+\Delta y}^{y} A_y(x, y') dy'$

次に、積分記号の中身をテイラー展開で近似する。例えば、$A_x(x, y+\Delta y) \approx A_x(x, y) + \frac{\partial A_x}{\partial y} \Delta y$ などとなる。これらの展開を用いて周回積分を計算すると、面積 $\Delta x \Delta y$ に比例する項が残る。具体的には、以下のようになる。

$\oint_C \vec{A} \cdot d\vec{l} \approx (\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}) \Delta x \Delta y$

ストークスの定理は、周回積分が、その経路で囲まれた面の面積分に等しいことを述べている。具体的には、以下のようになる。

$\oint_C \vec{A} \cdot d\vec{l} = \iint_S (\nabla \times \vec{A}) \cdot d\vec{S}$

ここで、$\nabla \times \vec{A}$ はベクトル場 $\vec{A}$ の回転（ローテーション）であり、$d\vec{S}$ は面積ベクトルである。今回の2次元の場合、回転は $\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}$ となり、$d\vec{S}$ は $\Delta x \Delta y \hat{k}$ となる。したがって、ストークスの定理は以下のように表される。

$\oint_C \vec{A} \cdot d\vec{l} = \iint_S (\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}) dA = (\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}) \Delta x \Delta y$

3. 最終的な答え

経路Cに沿った周回積分は $(\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}) \Delta x \Delta y$ であり、これはストークスの定理と一致する。