ベクトル $\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)$、$\mathbf{r} = (x, y, z)$ が与えられているとき、以下の問いに答える。 (1) $\nabla \times \mathbf{a} = 0$ のとき、$\frac{\partial a_z}{\partial y} = \frac{\partial a_y}{\partial z}$, $\frac{\partial a_x}{\partial z} = \frac{\partial a_z}{\partial x}$, $\frac{\partial a_y}{\partial x} = \frac{\partial a_x}{\partial y}$ が成り立つことを証明する。 (2) $\mathbf{a} \times \mathbf{r}$ の成分表示を求める。 (3) $\nabla \times \mathbf{a} = 0$ のとき、$\nabla \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{r}) = 0$ であることを証明する。

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)$、$\mathbf{r} = (x, y, z)$ が与えられているとき、以下の問いに答える。

(1) $\nabla \times \mathbf{a} = 0$ のとき、$\frac{\partial a_z}{\partial y} = \frac{\partial a_y}{\partial z}$, $\frac{\partial a_x}{\partial z} = \frac{\partial a_z}{\partial x}$, $\frac{\partial a_y}{\partial x} = \frac{\partial a_x}{\partial y}$ が成り立つことを証明する。

(2) $\mathbf{a} \times \mathbf{r}$ の成分表示を求める。

(3) $\nabla \times \mathbf{a} = 0$ のとき、$\nabla \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{r}) = 0$ であることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) $\nabla \times \mathbf{a}$ を計算し、それが 0 であるという条件から与えられた等式を導く。

(2) ベクトルの外積の定義に従って $\mathbf{a} \times \mathbf{r}$ を計算し、その成分表示を求める。

(3) $\nabla \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{r})$ を計算し、$\nabla \times \mathbf{a} = 0$ であるという条件からそれが 0 になることを示す。

(1) $\nabla \times \mathbf{a} = \left(\frac{\partial a_z}{\partial y} - \frac{\partial a_y}{\partial z}, \frac{\partial a_x}{\partial z} - \frac{\partial a_z}{\partial x}, \frac{\partial a_y}{\partial x} - \frac{\partial a_x}{\partial y}\right)$

$\nabla \times \mathbf{a} = 0$ より、各成分が 0 であるから、

$\frac{\partial a_z}{\partial y} - \frac{\partial a_y}{\partial z} = 0 \implies \frac{\partial a_z}{\partial y} = \frac{\partial a_y}{\partial z}$

$\frac{\partial a_x}{\partial z} - \frac{\partial a_z}{\partial x} = 0 \implies \frac{\partial a_x}{\partial z} = \frac{\partial a_z}{\partial x}$

$\frac{\partial a_y}{\partial x} - \frac{\partial a_x}{\partial y} = 0 \implies \frac{\partial a_y}{\partial x} = \frac{\partial a_x}{\partial y}$

したがって、題意は示された。

(2) $\mathbf{a} \times \mathbf{r} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ x & y & z \end{vmatrix} = (a_y z - a_z y) \mathbf{i} + (a_z x - a_x z) \mathbf{j} + (a_x y - a_y x) \mathbf{k}$

よって、$\mathbf{a} \times \mathbf{r} = (a_y z - a_z y, a_z x - a_x z, a_x y - a_y x)$

(3) $\nabla \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{r}) = \frac{\partial}{\partial x}(a_y z - a_z y) + \frac{\partial}{\partial y}(a_z x - a_x z) + \frac{\partial}{\partial z}(a_x y - a_y x)$

$= z \frac{\partial a_y}{\partial x} - y \frac{\partial a_z}{\partial x} + x \frac{\partial a_z}{\partial y} - z \frac{\partial a_x}{\partial y} + y \frac{\partial a_x}{\partial z} - x \frac{\partial a_y}{\partial z}$

$= x \left(\frac{\partial a_z}{\partial y} - \frac{\partial a_y}{\partial z}\right) + y \left(\frac{\partial a_x}{\partial z} - \frac{\partial a_z}{\partial x}\right) + z \left(\frac{\partial a_y}{\partial x} - \frac{\partial a_x}{\partial y}\right)$

$\nabla \times \mathbf{a} = 0$ より、

$\frac{\partial a_z}{\partial y} = \frac{\partial a_y}{\partial z}, \frac{\partial a_x}{\partial z} = \frac{\partial a_z}{\partial x}, \frac{\partial a_y}{\partial x} = \frac{\partial a_x}{\partial y}$

したがって、$\nabla \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{r}) = x(0) + y(0) + z(0) = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\partial a_z}{\partial y} = \frac{\partial a_y}{\partial z}$, $\frac{\partial a_x}{\partial z} = \frac{\partial a_z}{\partial x}$, $\frac{\partial a_y}{\partial x} = \frac{\partial a_x}{\partial y}$

(2) $\mathbf{a} \times \mathbf{r} = (a_y z - a_z y, a_z x - a_x z, a_x y - a_y x)$

(3) $\nabla \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{r}) = 0$