$x$-$y$平面における流体の2次元速度ベクトル場$\mathbf{v}$に対する発散$\mathrm{div} \, \mathbf{v}$の定義を示し、平面上の任意の領域において、それがどのような意味を持つかを説明する。

1. 問題の内容

$x$-$y$平面における流体の2次元速度ベクトル場$\mathbf{v}$に対する発散$\mathrm{div} \, \mathbf{v}$の定義を示し、平面上の任意の領域において、それがどのような意味を持つかを説明する。

2. 解き方の手順

$\mathbf{v} = (u(x, y), v(x, y))$を速度ベクトル場とする。ここで、$u(x, y)$と$v(x, y)$はそれぞれ、$x$方向と$y$方向の速度成分を表す。発散$\mathrm{div} \, \mathbf{v}$は次のように定義される。

$\mathrm{div} \, \mathbf{v} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y}$

この発散は、ある微小領域（例えば微小な正方形）から流出する流体の正味の量を表す。具体的には、微小領域の単位面積あたりの流出量を意味する。

* $\mathrm{div} \, \mathbf{v} > 0$の場合、その領域は流体の湧き出し源（ソース）となっている。つまり、領域から流出する流体の量が多い。

* $\mathrm{div} \, \mathbf{v} < 0$の場合、その領域は流体の吸い込み口（シンク）となっている。つまり、領域に流入する流体の量が多い。

* $\mathrm{div} \, \mathbf{v} = 0$の場合、その領域では流体の流入量と流出量が釣り合っている。

3. 最終的な答え

$x$-$y$平面上の流体の2次元速度ベクトル場$\mathbf{v} = (u(x, y), v(x, y))$に対する発散$\mathrm{div} \, \mathbf{v}$の定義は、

$\mathrm{div} \, \mathbf{v} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y}$

である。これは、その点における単位面積あたりの流出量（湧き出し量）を表す。$\mathrm{div} \, \mathbf{v} > 0$なら湧き出し源、$\mathrm{div} \, \mathbf{v} < 0$なら吸い込み口、$\mathrm{div} \, \mathbf{v} = 0$なら流入量と流出量が釣り合っていることを示す。