ある商品の価格 $p$ と販売量 $q$ の間に $q = -2p + 480$ の関係がある。商品を製造するには、工具の費用として10000円、1個あたり100円の原材料費が必要である。 (1) 生産費用 $C(q)$ と収入 $R(q)$ を $q$ の式で表す。 (2) 収入が最大となる $q$ の値を求める。 (3) 利潤が最大となる販売量を求める。

1. 問題の内容

ある商品の価格 $p$ と販売量 $q$ の間に $q = -2p + 480$ の関係がある。商品を製造するには、工具の費用として10000円、1個あたり100円の原材料費が必要である。

(1) 生産費用 $C(q)$ と収入 $R(q)$ を $q$ の式で表す。

(2) 収入が最大となる $q$ の値を求める。

(3) 利潤が最大となる販売量を求める。

2. 解き方の手順

(1) ① 生産費用 $C(q)$ を $q$ の式で表す。

固定費用は10000円、変動費用は1個あたり100円なので、$q$ 個生産する際の変動費用は $100q$ 円。

したがって、生産費用 $C(q)$ は

$C(q) = 10000 + 100q$

② 収入 $R(q)$ を $q$ の式で表す。

$q = -2p + 480$ より、

$2p = 480 - q$

$p = 240 - \frac{1}{2}q$

収入 $R(q)$ は価格 $p$ と販売量 $q$ の積なので、

$R(q) = pq = (240 - \frac{1}{2}q)q = 240q - \frac{1}{2}q^2$

(2) 収入が最大となる $q$ の値を求める。

$R(q) = 240q - \frac{1}{2}q^2$ を $q$ で微分すると、

$R'(q) = 240 - q$

$R'(q) = 0$ となる $q$ を求めると、

$240 - q = 0$

$q = 240$

$R''(q) = -1 < 0$ であるから、$q=240$ のとき $R(q)$ は最大となる。

(3) 利潤が最大となる販売量を求める。

利潤を $P(q)$ とすると、

$P(q) = R(q) - C(q) = (240q - \frac{1}{2}q^2) - (10000 + 100q) = -\frac{1}{2}q^2 + 140q - 10000$

$P(q)$ を $q$ で微分すると、

$P'(q) = -q + 140$

$P'(q) = 0$ となる $q$ を求めると、

$-q + 140 = 0$

$q = 140$

$P''(q) = -1 < 0$ であるから、$q=140$ のとき $P(q)$ は最大となる。

3. 最終的な答え

(1) ① $C(q) = 10000 + 100q$

② $R(q) = 240q - \frac{1}{2}q^2$

(2) $q = 240$

(3) $q = 140$