2つのベクトル $\vec{A} = \vec{e}_x + 2\vec{e}_y - 4\vec{e}_z$ と $\vec{B} = 2\vec{e}_x - \vec{e}_y + 2\vec{e}_z$ について、以下のものを求めます。 (1) ベクトル $\vec{A}$ の大きさ (2) ベクトル $\vec{B}$ 方向の単位ベクトル (3) スカラー積 (内積) $\vec{A} \cdot \vec{B}$

## 問題1

1. 問題の内容

2つのベクトル $\vec{A} = \vec{e}_x + 2\vec{e}_y - 4\vec{e}_z$ と $\vec{B} = 2\vec{e}_x - \vec{e}_y + 2\vec{e}_z$ について、以下のものを求めます。

(1) ベクトル $\vec{A}$ の大きさ

(2) ベクトル $\vec{B}$ 方向の単位ベクトル

(3) スカラー積 (内積) $\vec{A} \cdot \vec{B}$

2. 解き方の手順

(1) ベクトル $\vec{A}$ の大きさ $|\vec{A}|$ は、各成分の二乗和の平方根で求められます。

$|\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}$

$|\vec{A}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}$

(2) ベクトル $\vec{B}$ 方向の単位ベクトル $\hat{B}$ は、ベクトル $\vec{B}$ をその大きさ $|\vec{B}|$ で割ることで求められます。

まず、ベクトル $\vec{B}$ の大きさを計算します。

$|\vec{B}| = \sqrt{B_x^2 + B_y^2 + B_z^2}$

$|\vec{B}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$

次に、単位ベクトル $\hat{B}$ を計算します。

$\hat{B} = \frac{\vec{B}}{|\vec{B}|} = \frac{2\vec{e}_x - \vec{e}_y + 2\vec{e}_z}{3} = \frac{2}{3}\vec{e}_x - \frac{1}{3}\vec{e}_y + \frac{2}{3}\vec{e}_z$

(3) スカラー積 (内積) $\vec{A} \cdot \vec{B}$ は、各成分の積の和で求められます。

$\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$

$\vec{A} \cdot \vec{B} = (1)(2) + (2)(-1) + (-4)(2) = 2 - 2 - 8 = -8$

3. 最終的な答え

(1) $|\vec{A}| = \sqrt{21}$

(2) $\hat{B} = \frac{2}{3}\vec{e}_x - \frac{1}{3}\vec{e}_y + \frac{2}{3}\vec{e}_z$

(3) $\vec{A} \cdot \vec{B} = -8$

## 問題2

1. 問題の内容

以下のスカラー関数の導関数を求めます。

$f(x) = \cos ax$

$g(x) = xe^x$

$h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$

ただし、$a$ は定数とします。

2. 解き方の手順

$f(x) = \cos ax$ の導関数は、合成関数の微分を用いて求めます。

$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(\cos ax) = -a\sin ax$

$g(x) = xe^x$ の導関数は、積の微分を用いて求めます。

$\frac{dg}{dx} = \frac{d}{dx}(xe^x) = x\frac{d}{dx}(e^x) + e^x\frac{d}{dx}(x) = xe^x + e^x = (x+1)e^x$

$h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ の導関数は、合成関数の微分を用いて求めます。

$\frac{dh}{dx} = \frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 + 1}) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

3. 最終的な答え

$\frac{df}{dx} = -a\sin ax$

$\frac{dg}{dx} = (x+1)e^x$

$\frac{dh}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

## 問題3

1. 問題の内容

$x$軸上を運動する質点の位置が時間 $t$ の関数として $x(t) = (1-3t)^2$ と与えられているとき、時間 $t$ における速度 $v(t)$、加速度 $a(t)$ を求めます。

2. 解き方の手順

速度 $v(t)$ は、位置 $x(t)$ の時間微分です。

$v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}((1-3t)^2) = 2(1-3t)\frac{d}{dt}(1-3t) = 2(1-3t)(-3) = -6(1-3t) = 18t - 6$

加速度 $a(t)$ は、速度 $v(t)$ の時間微分です。

$a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(18t - 6) = 18$

3. 最終的な答え

$v(t) = 18t - 6$

$a(t) = 18$

## 問題4

1. 問題の内容

ある物体の位置ベクトルが $\vec{r} = t\vec{e}_x + \frac{1}{2}t^2\vec{e}_y$ と表されるとき、この物体の速度 $\vec{v}$、加速度 $\vec{a}$ を求めます。

2. 解き方の手順

速度 $\vec{v}$ は、位置ベクトル $\vec{r}$ の時間微分です。

$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(t\vec{e}_x + \frac{1}{2}t^2\vec{e}_y) = \frac{d}{dt}(t)\vec{e}_x + \frac{d}{dt}(\frac{1}{2}t^2)\vec{e}_y = \vec{e}_x + t\vec{e}_y$

加速度 $\vec{a}$ は、速度ベクトル $\vec{v}$ の時間微分です。

$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec{e}_x + t\vec{e}_y) = \frac{d}{dt}(1)\vec{e}_x + \frac{d}{dt}(t)\vec{e}_y = 0\vec{e}_x + \vec{e}_y = \vec{e}_y$

3. 最終的な答え

$\vec{v} = \vec{e}_x + t\vec{e}_y$

$\vec{a} = \vec{e}_y$

## 問題5

1. 問題の内容

$xy$ 平面上を運動する質点の位置ベクトルが、時間の関数として $\vec{r} = R\cos(\omega t)\vec{e}_x + R\sin(\omega t)\vec{e}_y$ と表されるとき、この質点の速度ベクトル $\vec{v}$ および加速度ベクトル $\vec{a}$ を求めます。ただし、$R$、$\omega$ は時間によらない定数とします。

2. 解き方の手順

速度ベクトル $\vec{v}$ は、位置ベクトル $\vec{r}$ の時間微分です。

$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(R\cos(\omega t)\vec{e}_x + R\sin(\omega t)\vec{e}_y) = R\frac{d}{dt}(\cos(\omega t))\vec{e}_x + R\frac{d}{dt}(\sin(\omega t))\vec{e}_y = R(-\omega\sin(\omega t))\vec{e}_x + R(\omega\cos(\omega t))\vec{e}_y = -R\omega\sin(\omega t)\vec{e}_x + R\omega\cos(\omega t)\vec{e}_y$

加速度ベクトル $\vec{a}$ は、速度ベクトル $\vec{v}$ の時間微分です。

$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(-R\omega\sin(\omega t)\vec{e}_x + R\omega\cos(\omega t)\vec{e}_y) = -R\omega\frac{d}{dt}(\sin(\omega t))\vec{e}_x + R\omega\frac{d}{dt}(\cos(\omega t))\vec{e}_y = -R\omega(\omega\cos(\omega t))\vec{e}_x + R\omega(-\omega\sin(\omega t))\vec{e}_y = -R\omega^2\cos(\omega t)\vec{e}_x - R\omega^2\sin(\omega t)\vec{e}_y$

3. 最終的な答え

$\vec{v} = -R\omega\sin(\omega t)\vec{e}_x + R\omega\cos(\omega t)\vec{e}_y$

$\vec{a} = -R\omega^2\cos(\omega t)\vec{e}_x - R\omega^2\sin(\omega t)\vec{e}_y$

## 問題6

1. 問題の内容

駆動力 10,000 N のエンジンを搭載した質量 10,000 kg のジェット機が、800 km/h の等速度で進むとき、ジェット機に働く合力はいくらか求めます。

2. 解き方の手順

ジェット機が等速度で進んでいる場合、加速度は 0 です。したがって、ニュートンの運動の第二法則 ($F = ma$) より、ジェット機に働く合力は 0 N です。

(等速直線運動をしている物体にはたらく合力はゼロである。)

3. 最終的な答え

0 N

## 問題7

1. 問題の内容

水平で摩擦のないスケートリンクの上にいる体重 60 kg の人を、5 m/s² で加速するには、どれだけの力で引けばよいか求めます。

2. 解き方の手順

ニュートンの運動の第二法則 ($F = ma$) を用います。質量 $m = 60$ kg、加速度 $a = 5$ m/s² なので、力 $F$ は以下のように計算できます。

$F = ma = (60 \text{ kg})(5 \text{ m/s}^2) = 300 \text{ N}$

3. 最終的な答え

300 N

## 問題8

1. 問題の内容

机の上に置かれた本に働く重力と、作用反作用の関係にある力は何か答えます。

2. 解き方の手順

机の上に置かれた本に働く重力は、地球が本を引く力です。作用反作用の法則によると、本も地球を引いています。したがって、作用反作用の関係にある力は、**本が地球を引く力**です。

3. 最終的な答え

本が地球を引く力