ある国の利子率が、3年後までは3%であり、それ以後は確率 $\frac{3}{5}$で2%、確率 $\frac{2}{5}$で4%になる。 (1) 3年後に100万円がもらえる割引債Aの割引現在価値を式で表す。 (2) 5年後に100万円がもらえる割引債Bの割引現在価値を式で表す。 (3) 3年後までの利子率が1%に下落した場合、割引債A,Bの価値が上がるか下がるかを答え、その理由を数式で説明する。

1. 問題の内容

ある国の利子率が、3年後までは3%であり、それ以後は確率 $\frac{3}{5}$で2%、確率 $\frac{2}{5}$で4%になる。

(1) 3年後に100万円がもらえる割引債Aの割引現在価値を式で表す。

(2) 5年後に100万円がもらえる割引債Bの割引現在価値を式で表す。

(3) 3年後までの利子率が1%に下落した場合、割引債A,Bの価値が上がるか下がるかを答え、その理由を数式で説明する。

2. 解き方の手順

(1) 割引債Aの割引現在価値の計算：

3年後の100万円を3年間、年利3%で割り引く。

割引現在価値は、

$\frac{100}{(1+0.03)^3}$ 百万円

(2) 割引債Bの割引現在価値の計算：

3年後までは年利3%、それ以降は確率 $\frac{3}{5}$で2%、確率 $\frac{2}{5}$で4%となる。

まず、4年後、5年後の利子率の期待値を計算する。

期待値 = $\frac{3}{5} \times 0.02 + \frac{2}{5} \times 0.04 = 0.012 + 0.016 = 0.028$

割引債Bの割引現在価値は、

$\frac{100}{(1+0.03)^3 \times (1+0.028)^2}$ 百万円

(3) 3年後までの利子率が1%に下落した場合の割引債A,Bの価値の変化：

割引債Aの新しい割引現在価値は、

$\frac{100}{(1+0.01)^3}$ 百万円

割引債Bの新しい割引現在価値は、

$\frac{100}{(1+0.01)^3 \times (1+0.028)^2}$ 百万円

割引債Aの価値変化：

$\frac{100}{(1+0.01)^3} - \frac{100}{(1+0.03)^3}$

$= 100 \times (\frac{1}{(1.01)^3} - \frac{1}{(1.03)^3}) \approx 100 \times (0.97059 - 0.91514) = 100 \times 0.05545 = 5.545$

Aの価値は上がる。

割引債Bの価値変化：

$\frac{100}{(1+0.01)^3 \times (1+0.028)^2} - \frac{100}{(1+0.03)^3 \times (1+0.028)^2}$

$= \frac{100}{(1.028)^2} \times (\frac{1}{(1.01)^3} - \frac{1}{(1.03)^3}) = \frac{100}{1.056784} \times (0.97059 - 0.91514) = 94.626 \times 0.05545 = 5.247$

Bの価値は上がる。

3. 最終的な答え

(1) 割引債Aの割引現在価値：$\frac{100}{(1+0.03)^3}$ 百万円

(2) 割引債Bの割引現在価値：$\frac{100}{(1+0.03)^3 \times (1+0.028)^2}$ 百万円

(3) 割引債A, Bの価値はどちらも上がる。

理由：

割引債Aの価値変化：$\frac{100}{(1+0.01)^3} - \frac{100}{(1+0.03)^3} > 0$

割引債Bの価値変化：$\frac{100}{(1+0.01)^3 \times (1+0.028)^2} - \frac{100}{(1+0.03)^3 \times (1+0.028)^2} > 0$