ある銀行が預金利子率を今後30年間は常に5%と約束している。 (1) 10万円を預けたままにしておくと、15年後にいくらになるかを式で表す。 (2) 10万円を預けたままにしておいたとき、何年後に20万円になるかを求める。 (i) x年後に20万円になると考えて、式を書く。 (ii) 何年後に20万円になるかをlogを使って表す。

1. 問題の内容

ある銀行が預金利子率を今後30年間は常に5%と約束している。

(1) 10万円を預けたままにしておくと、15年後にいくらになるかを式で表す。

(2) 10万円を預けたままにしておいたとき、何年後に20万円になるかを求める。

(i) x年後に20万円になると考えて、式を書く。

(ii) 何年後に20万円になるかをlogを使って表す。

2. 解き方の手順

(1) 年利率5%なので、1年後には元金の1.05倍になる。15年後には、元金に$(1.05)^{15}$をかけた金額になる。

したがって、10万円を預けた場合、15年後の金額は

$10 \times (1.05)^{15}$万円となる。

(2)

(i) x年後に20万円になると考えると、

$10 \times (1.05)^x = 20$

となる。

(ii) 上記の式をlogを用いて表す。

$(1.05)^x = 2$

両辺の対数をとると (底は任意だが、常用対数log10でとる)

$\log (1.05)^x = \log 2$

$x \log 1.05 = \log 2$

$x = \frac{\log 2}{\log 1.05}$

3. 最終的な答え

(1) $10 \times (1.05)^{15}$ 万円

(2)

(i) $10 \times (1.05)^x = 20$

(ii) $x = \frac{\log 2}{\log 1.05}$