p=50−3x を q=50p+500 に代入する。 q=50(50−3x)+500 q=2500−350x+500 q=3000−350x r=(50−3x)x−(3000−350x) r=50x−3x2−3000+350x r=−31x2+(50+350)x−3000 r=−31x2+3200x−3000 (3) 企業の得る利益が最大となる x を求める。 r=−31x2+3200x−3000 を平方完成する。 r=−31(x2−200x)−3000 r=−31(x2−200x+10000−10000)−3000 r=−31(x−100)2+310000−3000 r=−31(x−100)2+310000−39000 r=−31(x−100)2+31000 r は x=100 のとき最大値 31000 をとる。 50≤x<250 を満たしているので、x=100の時利益が最大となる。 (4) Aの生産量に限りがあり、1年間で15万本以下しか生産できないとき、企業の得る最大の利益を求める。
p=50−3x より、p≤15 のときを考える。 50−3x≤15 35≤3x x=105 のとき、p=50−3105=50−35=15 となる。 r=−31x2+3200x−3000 に x=105 を代入する。 r=−31(105)2+3200(105)−3000 r=−31(11025)+321000−39000 r=3−11025+21000−9000 r=3975 (5) 50≤x<250 のときの企業の得る利益についての記述として正しいものを選ぶ。 ① Aの販売本数が最大になるように1本あたりの価格を設定することで、企業の得る利益は最大となる。
p=50−3x より、p が最大になるのは x が最小のときである。x=50のとき、p=50−350=3100 となる。 利益が最大となるのは x=100 のときであるから、これは誤り。 ② Aの1本あたりの価格を変えても、企業の得る利益が負の値となることはない。
x=100 付近で最大値を取る下に凸なグラフだから、利益が負の値になることはありえるので誤り。 例えば、r=−31x2+3200x−3000=0 を解くと、x=100±1010 x≈68.377, x≈131.623 x<68.377 あるいは x>131.623 で r<0 となる。 ③ 企業の得る利益を1000万円以上とするためには、Aの1本あたりの価格を100円以上にする必要がある。
r=−31(x−100)2+31000 より、r の最大値は 31000≈333.33 なので、1000万円以上は不可能。よって誤り。 ④ Aを生産、販売するためにかかる費用の総額が、従来の20%である (50p+500)×0.2 (万円)だけ増加すると、得る利益が最大となるようなAの1本あたりの価格は減少する。 費用の総額が q+0.2q=1.2q になるとすると、 r=px−1.2q=(50−3x)x−1.2(3000−350x) r=50x−3x2−3600+20x r=−31x2+70x−3600 r=−31(x2−210x)−3600 r=−31(x−105)2+311025−3600 r=−31(x−105)2+311025−10800 r=−31(x−105)2+3225 r=−31(x−105)2+75 x=105 のとき、r は最大値をとるので、価格は減少する。 