$^{99m}Tc$ は $^{99}Mo$ の放射平衡を利用したミルキングという手法で精製される。$^{99}Mo$ の初期放射能が $5.0 \, \text{GBq}$ であったとき、33時間後と66時間後にミルキングを行い、2回のミルキングによって得られる $^{99m}Tc$ の放射能の合計を求める。ただし、$^{99}Mo$ の半減期は66時間、$^{99m}Tc$ の半減期は6時間である。一次反応の逐次反応 A→B→C における B の濃度は、A→B の速度定数を $k_1$、B→C の速度定数を $k_2$、A の初期濃度を $A_0$ とすると、$B = \frac{k_1 A_0}{k_1 - k_2} (e^{-k_2 t} - e^{-k_1 t})$ で表される。

1. 問題の内容

$^{99m}Tc$ は $^{99}Mo$ の放射平衡を利用したミルキングという手法で精製される。$^{99}Mo$ の初期放射能が $5.0 \, \text{GBq}$ であったとき、33時間後と66時間後にミルキングを行い、2回のミルキングによって得られる $^{99m}Tc$ の放射能の合計を求める。ただし、$^{99}Mo$ の半減期は66時間、$^{99m}Tc$ の半減期は6時間である。一次反応の逐次反応 A→B→C における B の濃度は、A→B の速度定数を $k_1$、B→C の速度定数を $k_2$、A の初期濃度を $A_0$ とすると、$B = \frac{k_1 A_0}{k_1 - k_2} (e^{-k_2 t} - e^{-k_1 t})$ で表される。

2. 解き方の手順

まず、$^{99}Mo$ の崩壊定数 $k_1$ と $^{99m}Tc$ の崩壊定数 $k_2$ を計算する。

半減期 $T_{1/2}$ と崩壊定数 $k$ の関係は $k = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ である。

したがって、

$k_1 = \frac{\ln 2}{66} \, \text{h}^{-1}$

$k_2 = \frac{\ln 2}{6} \, \text{h}^{-1}$

1回目のミルキングで得られる $^{99m}Tc$ の放射能は、33時間後の $^{99m}Tc$ の放射能に相当する。

$A_0 = 5.0 \, \text{GBq} = 5.0 \times 10^9 \, \text{Bq}$ とすると、33時間後の $^{99m}Tc$ の放射能 $B_1$ は、

$B_1 = \frac{k_1 A_0}{k_1 - k_2} (e^{-k_2 \times 33} - e^{-k_1 \times 33})$

$B_1 = \frac{\frac{\ln 2}{66} \times 5.0 \times 10^9}{\frac{\ln 2}{66} - \frac{\ln 2}{6}} (e^{-\frac{\ln 2}{6} \times 33} - e^{-\frac{\ln 2}{66} \times 33})$

$B_1 = \frac{\frac{1}{66} \times 5.0 \times 10^9}{\frac{1}{66} - \frac{1}{6}} (e^{-\frac{33}{6} \ln 2} - e^{-\frac{33}{66} \ln 2})$

$B_1 = \frac{\frac{1}{66} \times 5.0 \times 10^9}{\frac{1 - 11}{66}} (2^{-33/6} - 2^{-1/2})$

$B_1 = \frac{5.0 \times 10^9}{-10} (2^{-5.5} - 2^{-0.5})$

$B_1 = -5.0 \times 10^8 (0.022097 - 0.707107)$

$B_1 = -5.0 \times 10^8 (-0.68501)$

$B_1 = 3.42505 \times 10^8 \, \text{Bq}$

2回目のミルキングでの初期放射能は、33時間後の $^{99}Mo$ の放射能に相当する。33時間後の $^{99}Mo$ の放射能 $A_{33}$ は、

$A_{33} = A_0 e^{-k_1 \times 33}$

$A_{33} = 5.0 \times 10^9 e^{-\frac{\ln 2}{66} \times 33}$

$A_{33} = 5.0 \times 10^9 e^{-\frac{1}{2} \ln 2}$

$A_{33} = 5.0 \times 10^9 \times 2^{-1/2}$

$A_{33} = 5.0 \times 10^9 \times 0.707107$

$A_{33} = 3.535535 \times 10^9 \, \text{Bq}$

2回目のミルキングで得られる $^{99m}Tc$ の放射能 $B_2$ は、

$B_2 = \frac{k_1 A_{33}}{k_1 - k_2} (e^{-k_2 \times 33} - e^{-k_1 \times 33})$

$B_2 = \frac{\frac{\ln 2}{66} \times 3.535535 \times 10^9}{\frac{\ln 2}{66} - \frac{\ln 2}{6}} (e^{-\frac{\ln 2}{6} \times 33} - e^{-\frac{\ln 2}{66} \times 33})$

$B_2 = \frac{\frac{1}{66} \times 3.535535 \times 10^9}{\frac{1}{66} - \frac{1}{6}} (2^{-5.5} - 2^{-0.5})$

$B_2 = \frac{3.535535 \times 10^9}{-10} (0.022097 - 0.707107)$

$B_2 = -3.535535 \times 10^8 (-0.68501)$

$B_2 = 2.4217 \times 10^8 \, \text{Bq}$

2回のミルキングによって得られる $^{99m}Tc$ の放射能の合計 $B$ は、

$B = B_1 + B_2 = 3.42505 \times 10^8 + 2.4217 \times 10^8 = 5.84675 \times 10^8 \, \text{Bq}$

3. 最終的な答え

$5.8 \times 10^8$ Bq