与えられたマクロ経済モデルについて、以下の問いに答えます。 (1) IS曲線とLM曲線をそれぞれ求める。 (2) 均衡GDP（$Y^*$）と均衡利子率（$i^*$）を求める。 (3) 完全雇用GDPが280のとき、現在の均衡GDPの不足分を求める。 (4) 完全雇用GDPを達成するために必要な財政支出を求める。 (5) 利子率$i$が3に近づいたときのLM曲線の形状と、その状況を何と呼ぶかを説明する。

1. 問題の内容

与えられたマクロ経済モデルについて、以下の問いに答えます。

(1) IS曲線とLM曲線をそれぞれ求める。

(2) 均衡GDP（$Y^*$）と均衡利子率（$i^*$）を求める。

(3) 完全雇用GDPが280のとき、現在の均衡GDPの不足分を求める。

(4) 完全雇用GDPを達成するために必要な財政支出を求める。

(5) 利子率$i$が3に近づいたときのLM曲線の形状と、その状況を何と呼ぶかを説明する。

2. 解き方の手順

1-1: IS曲線とLM曲線をそれぞれ求める。

IS曲線：財市場の均衡条件 $Y = C + I + G$ に、与えられた消費関数 $C = 0.8Y + 20$、投資関数 $I = 40 - 4i$、政府支出 $G = 0$ を代入します。

$Y = (0.8Y + 20) + (40 - 4i) + 0$

$Y = 0.8Y + 60 - 4i$

$0.2Y = 60 - 4i$

$Y = 300 - 20i$

これがIS曲線です。

LM曲線：貨幣市場の均衡条件 $L = M/P$ を使います。ここで、$L$は名目貨幣需要、$M$は名目貨幣供給、$P$は物価水準です。与えられた名目貨幣需要関数 $L = (\frac{1}{2}Y + \frac{160}{i-3})P$、名目貨幣供給 $M = 180$、物価水準 $P = 1$ を代入します。

$\frac{1}{2}Y + \frac{160}{i-3} = 180$

$\frac{1}{2}Y = 180 - \frac{160}{i-3}$

$Y = 360 - \frac{320}{i-3}$

これがLM曲線です。

1-2: 均衡GDP（$Y^*$）と均衡利子率（$i^*$）を求める。

IS曲線とLM曲線を連立させて解きます。

$Y = 300 - 20i$ (IS曲線)

$Y = 360 - \frac{320}{i-3}$ (LM曲線)

$300 - 20i = 360 - \frac{320}{i-3}$

$-60 - 20i = - \frac{320}{i-3}$

$60 + 20i = \frac{320}{i-3}$

$(60 + 20i)(i-3) = 320$

$60i - 180 + 20i^2 - 60i = 320$

$20i^2 - 180 = 320$

$20i^2 = 500$

$i^2 = 25$

$i = \pm 5$

利子率は正である必要があるため、$i^* = 5$ となります。

$Y^* = 300 - 20(5) = 300 - 100 = 200$

したがって、均衡利子率 $i^* = 5$ で、均衡GDP $Y^* = 200$ です。

1-3: 完全雇用GDPが280のとき、現在の均衡GDPの不足分を求める。

完全雇用GDPは280で、現在の均衡GDPは200なので、不足分は $280 - 200 = 80$ です。

1-4: 完全雇用GDPを達成するために必要な財政支出を求める。

IS曲線の式 $Y = C + I + G$ において、政府支出$G$が変化すると、GDP $Y$ も変化します。消費関数$C=0.8Y+20$、投資関数$I=40-4i$を代入します。また、利子率$i=5$も代入します。目標GDPは280なので、$Y=280$を代入します。

$280 = 0.8(280) + 20 + 40 - 4(5) + G$

$280 = 224 + 20 + 40 - 20 + G$

$280 = 264 + G$

$G = 280 - 264 = 16$

現在の政府支出は$G=0$なので、必要な財政支出は$16$です。

1-5: 利子率$i$が3に近づいたときのLM曲線の形状と、その状況を何と呼ぶかを説明する。

LM曲線は $Y = 360 - \frac{320}{i-3}$ で与えられます。利子率$i$が3に近づくと、分母 $i-3$ が0に近づきます。したがって、$\frac{320}{i-3}$ の絶対値は無限大に近づきます。これは、$i$が3に近づくと、$Y$ も無限大に近づくか、負の無限大に近づくことを意味します。

このため、LM曲線は$i=3$の付近で垂直に近くなります。

このような状況は、流動性の罠(Liquidity Trap)の一つの極端なケースとして解釈できることがあります。

3. 最終的な答え

1-1:

IS曲線: $Y = 300 - 20i$

LM曲線: $Y = 360 - \frac{320}{i-3}$

1-2:

均衡GDP: $Y^* = 200$

均衡利子率: $i^* = 5$

1-3:

不足分: 80

1-4:

必要な財政支出: 16

1-5:

LM曲線は$i=3$の付近で垂直に近くなる。このような状況は、流動性の罠に関連する。