この問題は、2期間を生きる個人の消費選択に関する問題です。個人の効用関数は $U(c_1, c_2) = \ln c_1 + \frac{1}{3} \ln c_2$ であり、若年期の所得は100、老年期の所得は315、利子率は5%です。 (1) 消費の組が $(c_1, c_2)$ の時の限界代替率(MRS)が $\frac{3c_2}{c_1}$ となることを示します。 (2) 若年期と老年期の最適な消費量 $c_1^*, c_2^*$ を計算します。 (3) この個人が若年期にいくら貯蓄、あるいは借入れを行うか計算します。

1. 問題の内容

この問題は、2期間を生きる個人の消費選択に関する問題です。個人の効用関数は $U(c_1, c_2) = \ln c_1 + \frac{1}{3} \ln c_2$ であり、若年期の所得は100、老年期の所得は315、利子率は5%です。

(1) 消費の組が $(c_1, c_2)$ の時の限界代替率(MRS)が $\frac{3c_2}{c_1}$ となることを示します。

(2) 若年期と老年期の最適な消費量 $c_1^*, c_2^*$ を計算します。

(3) この個人が若年期にいくら貯蓄、あるいは借入れを行うか計算します。

2. 解き方の手順

(1) 限界代替率の計算

限界代替率(MRS)は、効用関数を各消費財で偏微分したものの比の絶対値で表されます。

$MRS = \frac{\frac{\partial U}{\partial c_1}}{\frac{\partial U}{\partial c_2}}$

効用関数 $U(c_1, c_2) = \ln c_1 + \frac{1}{3} \ln c_2$ を $c_1$ で偏微分すると、

$\frac{\partial U}{\partial c_1} = \frac{1}{c_1}$

次に、効用関数を $c_2$ で偏微分すると、

$\frac{\partial U}{\partial c_2} = \frac{1}{3c_2}$

したがって、限界代替率は、

$MRS = \frac{\frac{1}{c_1}}{\frac{1}{3c_2}} = \frac{3c_2}{c_1}$

これにより、限界代替率が $\frac{3c_2}{c_1}$ となることが示されました。

(2) 最適な消費量の計算

予算制約式は、若年期の消費と老年期の消費の現在価値の合計が、所得の現在価値の合計に等しいという式で表されます。

$c_1 + \frac{c_2}{1+r} = y_1 + \frac{y_2}{1+r}$

ここで、$y_1 = 100$, $y_2 = 315$, $r = 0.05$ です。

$c_1 + \frac{c_2}{1.05} = 100 + \frac{315}{1.05}$

$c_1 + \frac{c_2}{1.05} = 100 + 300$

$c_1 + \frac{c_2}{1.05} = 400$

効用最大化の条件は、限界代替率が相対価格に等しくなることです。

$MRS = \frac{3c_2}{c_1} = 1+r = 1.05$

$3c_2 = 1.05c_1$

$c_2 = \frac{1.05}{3} c_1 = 0.35c_1$

これを予算制約式に代入します。

$c_1 + \frac{0.35c_1}{1.05} = 400$

$c_1 + \frac{1}{3}c_1 = 400$

$\frac{4}{3}c_1 = 400$

$c_1 = \frac{3}{4} \times 400 = 300$

$c_2 = 0.35c_1 = 0.35 \times 300 = 105$

したがって、最適な消費量は $c_1^* = 300$, $c_2^* = 105$ です。

(3) 貯蓄額の計算

若年期の所得は100、最適な消費量は300なので、

貯蓄 = 所得 - 消費

貯蓄 = 100 - 300 = -200

したがって、この個人は若年期に200の借入れを行います。

3. 最終的な答え

(1) 限界代替率は $\frac{3c_2}{c_1}$ である。

(2) 若年期の最適な消費量は300、老年期の最適な消費量は105である。

(3) この個人は若年期に200の借入れを行う。