与えられた問題は、逆三角関数に関する以下の3つの小問から構成されています。 a) $t = \sin^{-1}x$のとき、$\frac{dx}{dt}$を求めよ。 b) $t(0)$と$t(1)$の値を求めよ。ただし、$t=\sin^{-1}x$とする。 c) 定積分 $\int_{0}^{1} \sin^{-1}x \, dx$ を計算せよ。

1. 問題の内容

与えられた問題は、逆三角関数に関する以下の3つの小問から構成されています。

a) $t = \sin^{-1}x$のとき、$\frac{dx}{dt}$を求めよ。

b) $t(0)$と$t(1)$の値を求めよ。ただし、$t=\sin^{-1}x$とする。

c) 定積分 $\int_{0}^{1} \sin^{-1}x \, dx$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

a)

$t = \sin^{-1}x$ より、$x = \sin t$と表せる。

両辺を$t$で微分すると、

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\sin t) = \cos t$

$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$より、$\cos t = \sqrt{1-\sin^2 t} = \sqrt{1-x^2}$である。

したがって、

$\frac{dx}{dt} = \sqrt{1-x^2}$.

ただし、ここで、$t = \sin^{-1}x$の定義域より、$-\frac{\pi}{2} \le t \le \frac{\pi}{2}$ であるので、$\cos t \ge 0$であることに注意する。

b)

$t(x) = \sin^{-1}x$である。

$t(0) = \sin^{-1}(0) = 0$.

$t(1) = \sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}$.

c)

定積分 $\int_{0}^{1} \sin^{-1}x \, dx$を計算する。

部分積分を用いる。$u = \sin^{-1}x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$, $v=x$となる。

よって、

$\int_{0}^{1} \sin^{-1}x \, dx = [x\sin^{-1}x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$.

$[x\sin^{-1}x]_{0}^{1} = 1 \cdot \sin^{-1}(1) - 0 \cdot \sin^{-1}(0) = 1 \cdot \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$.

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ を計算する。

$w = 1-x^2$ とすると、 $dw = -2x \, dx$ より $x \, dx = -\frac{1}{2} dw$.

積分範囲は、$x=0$のとき$w=1$、$x=1$のとき$w=0$。

したがって、$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{w}}(-\frac{1}{2} dw) = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} w^{-\frac{1}{2}} \, dw = \frac{1}{2}[2w^{\frac{1}{2}}]_{0}^{1} = [w^{\frac{1}{2}}]_{0}^{1} = 1-0 = 1$.

よって、$\int_{0}^{1} \sin^{-1}x \, dx = \frac{\pi}{2} - 1$.

3. 最終的な答え

a) $\frac{dx}{dt} = \cos t = \sqrt{1-x^2}$

b) $t(0) = 0$, $t(1) = \frac{\pi}{2}$

c) $\int_{0}^{1} \sin^{-1}x \, dx = \frac{\pi}{2} - 1$