曲線 $C$ がパラメータ表示 $x = 3\cos t$, $y = 3\sin t$ ($0 \le t \le 2\pi$) で与えられているとき、曲線 $C$ の長さ $L$ を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $C$ がパラメータ表示 $x = 3\cos t$, $y = 3\sin t$ ($0 \le t \le 2\pi$) で与えられているとき、曲線 $C$ の長さ $L$ を求めよ。

2. 解き方の手順

曲線の長さは、パラメータ表示された曲線の場合、以下の公式を用いて計算できます。

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$

ここで、$a$ と $b$ はパラメータ $t$ の積分範囲の下限と上限です。

まず、$x$ と $y$ を $t$ で微分します。

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(3\cos t) = -3\sin t$

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(3\sin t) = 3\cos t$

次に、$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2$ を計算します。

$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = (-3\sin t)^2 + (3\cos t)^2 = 9\sin^2 t + 9\cos^2 t = 9(\sin^2 t + \cos^2 t) = 9$

したがって、

$\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} = \sqrt{9} = 3$

最後に、積分を計算します。積分範囲は $0 \le t \le 2\pi$ なので、$a = 0$ と $b = 2\pi$ です。

$L = \int_{0}^{2\pi} 3 dt = 3 \int_{0}^{2\pi} dt = 3[t]_{0}^{2\pi} = 3(2\pi - 0) = 6\pi$

3. 最終的な答え

$L = 6\pi$