20人の生徒の中から4人の代表を選ぶとき、X君とY君がともに選ばれない組み合わせは何通りあるか。

1. 問題の内容

20人の生徒の中から4人の代表を選ぶとき、X君とY君がともに選ばれない組み合わせは何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、20人から4人を選ぶすべての組み合わせを計算します。これは組み合わせの公式 $nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算できます。

$20C4 = \frac{20!}{4!16!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5 \times 19 \times 3 \times 17 = 4845$

次に、X君とY君がともに選ばれる組み合わせを計算します。X君とY君がすでに選ばれているので、残りの18人から2人を選ぶ組み合わせを計算します。

$18C2 = \frac{18!}{2!16!} = \frac{18 \times 17}{2 \times 1} = 9 \times 17 = 153$

X君とY君がともに選ばれない組み合わせは、すべての組み合わせからX君とY君がともに選ばれる組み合わせを引くことで求められます。

$4845 - 153 = 4692$

3. 最終的な答え

4692通り