自然数 $a, b, c$ が $a^2 + b^2 = c^2$ を満たすとき、$a, b, c$ のうち少なくとも1つは偶数であることを証明します。

1. 問題の内容

自然数 $a, b, c$ が $a^2 + b^2 = c^2$ を満たすとき、$a, b, c$ のうち少なくとも1つは偶数であることを証明します。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明します。つまり、$a, b, c$ がすべて奇数であると仮定して矛盾を導きます。

$a, b, c$ がすべて奇数であると仮定すると、ある整数 $p, q, r$ を用いて以下のように表すことができます。

$a = 2p + 1$

$b = 2q + 1$

$c = 2r + 1$

これを $a^2 + b^2 = c^2$ に代入すると、

$(2p + 1)^2 + (2q + 1)^2 = (2r + 1)^2$

$4p^2 + 4p + 1 + 4q^2 + 4q + 1 = 4r^2 + 4r + 1$

$4p^2 + 4p + 4q^2 + 4q + 2 = 4r^2 + 4r + 1$

$4(p^2 + p + q^2 + q) + 2 = 4(r^2 + r) + 1$

左辺は偶数、右辺は奇数となり、矛盾が生じます。

したがって、$a, b, c$ がすべて奇数であるという仮定は誤りであり、$a, b, c$ のうち少なくとも1つは偶数でなければなりません。

3. 最終的な答え

$a, b, c$ のうち少なくとも1つは偶数である。