(1) 2つの奇数の積が偶数になるか奇数になるか、2つの偶数の積、偶数と奇数の積について考える問題。 (2) 大小2つのサイコロを投げ、大きいサイコロの出目を $a$ 、小さいサイコロの出目を $b$ とする。以下の確率を求める。 1. $ab$ が奇数となる確率 2. $ab + 3b$ が偶数となる確率 3. $a^2 - 5ab + 6b^2$ が3以上の奇数となる確率

1. 問題の内容

(1) 2つの奇数の積が偶数になるか奇数になるか、2つの偶数の積、偶数と奇数の積について考える問題。

(2) 大小2つのサイコロを投げ、大きいサイコロの出目を $a$ 、小さいサイコロの出目を $b$ とする。以下の確率を求める。

1. $ab$ が奇数となる確率

2. $ab + 3b$ が偶数となる確率

3. $a^2 - 5ab + 6b^2$ が3以上の奇数となる確率

2. 解き方の手順

(1)

まず、2つの奇数の積について考える。

$m, n$ を整数とすると、2つの奇数は $2m+1, 2n+1$ と表される。

この2つの奇数の積は、$(2m+1)(2n+1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn+m+n) + 1$ となる。

したがって、

i：$2$

ii：$2mn+m+n$

iii：整数

iv：奇数

次に、2つの偶数の積について考える。

2つの偶数は $2m, 2n$ と表される。

$(2m)(2n) = 4mn = 2(2mn)$

これは偶数である。

最後に、偶数と奇数の積について考える。

偶数は $2m$ 、奇数は $2n+1$ と表される。

$(2m)(2n+1) = 4mn + 2m = 2(2mn+m)$

これは偶数である。

したがって、

v：偶数

よって、正解は「エ」

(2)

① $ab$ が奇数となるのは、$a$ も $b$ も奇数の時である。

$a, b$ はそれぞれ1, 3, 5のいずれかであるから、確率は $\frac{3}{6} \times \frac{3}{6} = \frac{1}{4}$

② $ab + 3b = b(a+3)$ が偶数となるのは、$b$ が偶数または、$a+3$ が偶数の時である。

$b$ が偶数のとき、$b$ は2, 4, 6のいずれかである。確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$b$ が奇数のとき、$b$ は1, 3, 5のいずれかである。確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$a+3$ が偶数のとき、$a$ は奇数である。確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$b$ が偶数の時、確率は $\frac{1}{2}$

$b$ が奇数で、$a$ が奇数の時、確率は $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

合計して、$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

③ $a^2 - 5ab + 6b^2 = (a-2b)(a-3b)$ が3以上の奇数となる確率

サイコロの出目なので、$1 \le a \le 6$、$1 \le b \le 6$

$a^2 - 5ab + 6b^2$ が奇数となるには、$a-2b$ と $a-3b$ がともに奇数でなければならない。

$a-2b$ が奇数 $\iff$ $a$ が奇数かつ $2b$ が偶数（常に成立）または、$a$ が偶数かつ $2b$ が奇数（ありえない）

$a-3b$ が奇数 $\iff$ $a$ が奇数かつ $3b$ が偶数 $\iff$ $a$ が奇数かつ $b$ が偶数

または、$a$ が偶数かつ $3b$ が奇数 $\iff$ $a$ が偶数かつ $b$ が奇数

つまり、$a$ が奇数で $b$ が偶数、または、$a$ が偶数で $b$ が奇数のとき、$a^2 - 5ab + 6b^2$ は奇数となる。

このとき、確率は $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$a$が奇数、$b$が偶数のとき、$a = 1, 3, 5$、$b = 2, 4, 6$

$a$が偶数、$b$が奇数のとき、$a = 2, 4, 6$、$b = 1, 3, 5$

条件を満たす組み合わせを調べる。

$a$が奇数、$b$が偶数のとき、

(1,2): $1-5(2)+6(4) = 15$

(1,4): $1-5(4)+6(16) = 77$

(1,6): $1-5(6)+6(36) = 187$

(3,2): $9-5(6)+6(4) = 3$

(3,4): $9-5(12)+6(16) = 45$

(3,6): $9-5(18)+6(36) = 135$

(5,2): $25-5(10)+6(4) = 9$

(5,4): $25-5(20)+6(16) = 21$

(5,6): $25-5(30)+6(36) = 91$

$a$が偶数、$b$が奇数のとき、

(2,1): $4-5(2)+6(1) = 0$

(2,3): $4-5(6)+6(9) = 28$

(2,5): $4-5(10)+6(25) = 104$

(4,1): $16-5(4)+6(1) = 2$

(4,3): $16-5(12)+6(9) = 10$

(4,5): $16-5(20)+6(25) = 66$

(6,1): $36-5(6)+6(1) = 12$

(6,3): $36-5(18)+6(9) = 0$

(6,5): $36-5(30)+6(25) = 36$

$(a-2b)(a-3b)$が3以上の奇数となるのは、

(1,2)=15, (1,4)=77, (1,6)=187, (3,2)=3, (3,4)=45, (3,6)=135, (5,2)=9, (5,4)=21, (5,6)=91

の9通り。

したがって、確率は $\frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1)

i: $2$

ii: $2mn+m+n$

iii: 整数

iv: 奇数

v: 偶数

記号: エ

(2)

① $\frac{1}{4}$

② $\frac{3}{4}$

③ $\frac{1}{4}$