数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \dots$ について、以下の問いに答えます。 (1) $\frac{5}{21}$ は第何項か。 (2) 第100項を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \dots$ について、以下の問いに答えます。

(1) $\frac{5}{21}$ は第何項か。

(2) 第100項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 分母が $n$ である項の数は $n-1$ 個である。

分母が $2$ から $20$ までの項の数の合計は

$\sum_{k=2}^{20} (k-1) = \sum_{k=1}^{19} k = \frac{19 \cdot 20}{2} = 190$ 個である。

$\frac{5}{21}$ は分母が $21$ の数列の $5$ 番目の項であるから、

$\frac{5}{21}$ は $190 + 5 = 195$ 番目の項である。

(2) 第100項を求める。

分母が $n$ である項の数の合計が $100$ に最も近い $n$ を求める。

$\sum_{k=2}^{n} (k-1) = \sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$

$\frac{(n-1)n}{2} < 100$ を満たす最大の整数 $n$ を探す。

$n(n-1) < 200$ を満たす最大の整数 $n$ を探す。

$n=14$ のとき $14 \times 13 = 182 < 200$

$n=15$ のとき $15 \times 14 = 210 > 200$

したがって、$n=14$ であり、分母が14までの項の合計は $\frac{13 \cdot 14}{2} = 91$ 項である。

したがって、第100項は分母が $15$ の数列の $(100 - 91) = 9$ 番目の項である。

したがって、第100項は $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ である。

3. 最終的な答え

(1) 195

(2) $\frac{9}{15}$ (または $\frac{3}{5}$)