実数 $x$ が正の無理数であるとき、$\sqrt{x}$ が無理数であることを証明する問題です。

1. 問題の内容

実数 $x$ が正の無理数であるとき、$\sqrt{x}$ が無理数であることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明します。

(1) $\sqrt{x}$ が有理数であると仮定します。つまり、$\sqrt{x} = \frac{p}{q}$ となる整数 $p$ と $q$ ($q \neq 0$) が存在すると仮定します。ここで、$p$ と $q$ は互いに素であるとします。

(2) $\sqrt{x} = \frac{p}{q}$ の両辺を2乗すると、

$x = (\frac{p}{q})^2 = \frac{p^2}{q^2}$

となります。

(3) $x$ は無理数であるという条件から、$x$ は有理数ではありません。しかし、$p$ と $q$ は整数であるため、$\frac{p^2}{q^2}$ は有理数です。これは矛盾です。

(4) よって、$\sqrt{x}$ が有理数であるという仮定は誤りであり、$\sqrt{x}$ は無理数でなければなりません。

3. 最終的な答え

したがって、$x$ が正の無理数であるとき、$\sqrt{x}$ は無理数です。（証明終わり）