すべての自然数 $n$ について、以下の不等式が成り立つことを示せ。 $$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} \ge \frac{2n}{n+1}$$

1. 問題の内容

すべての自然数 $n$ について、以下の不等式が成り立つことを示せ。

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} \ge \frac{2n}{n+1}$$

2. 解き方の手順

数学的帰納法を用いて証明します。

(1) $n=1$ のとき:

左辺 $= 1$

右辺 $= \frac{2(1)}{1+1} = \frac{2}{2} = 1$

よって、$1 \ge 1$ となり、不等式は成り立ちます。

(2) $n=k$ のとき不等式が成り立つと仮定します。すなわち、

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{k} \ge \frac{2k}{k+1}$$

が成り立つと仮定します。

(3) $n=k+1$ のとき不等式が成り立つことを示します。

$n=k+1$ のとき、不等式は

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} \ge \frac{2(k+1)}{(k+1)+1} = \frac{2(k+1)}{k+2}$$

となることを示します。

仮定より、

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} \ge \frac{2k}{k+1} + \frac{1}{k+1} = \frac{2k+1}{k+1}$$

したがって、$\frac{2k+1}{k+1} \ge \frac{2(k+1)}{k+2}$ を示せばよいことになります。

$\frac{2k+1}{k+1} - \frac{2(k+1)}{k+2} = \frac{(2k+1)(k+2) - 2(k+1)^2}{(k+1)(k+2)} = \frac{2k^2+5k+2 - 2(k^2+2k+1)}{(k+1)(k+2)} = \frac{2k^2+5k+2 - 2k^2-4k-2}{(k+1)(k+2)} = \frac{k}{(k+1)(k+2)}$

$k$ は自然数なので、$\frac{k}{(k+1)(k+2)} > 0$ である。

よって、$\frac{2k+1}{k+1} \ge \frac{2(k+1)}{k+2}$ が成り立つ。

したがって、$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{k+1} \ge \frac{2(k+1)}{k+2}$ が成り立つ。

(1)(2)(3)より、すべての自然数 $n$ に対して、$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} \ge \frac{2n}{n+1}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

すべての自然数 $n$ について、$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} \ge \frac{2n}{n+1}$ が成り立つ。