数列$\{a_n\}$が、$a_1=2$, $a_2=3$, $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$（$n=1, 2, 3, \dots$）と定義されているとき、以下の問いに答える問題です。 (1) 全ての自然数$n$に対して、$a_n > n$であることを証明せよ。 (2) 命題「$a_n$が偶数ならば、$a_n$の素因数は2だけである」の真偽を調べ、真ならば証明し、偽ならば反例をあげよ。 (3) 命題「全ての自然数$n$に対して、$\frac{a_{n+1}}{a_n}$は整数ではない」の真偽を調べ、真ならば証明し、偽ならば反例をあげよ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が、$a_1=2$, $a_2=3$, $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$（$n=1, 2, 3, \dots$）と定義されているとき、以下の問いに答える問題です。

(1) 全ての自然数$n$に対して、$a_n > n$であることを証明せよ。

(2) 命題「$a_n$が偶数ならば、$a_n$の素因数は2だけである」の真偽を調べ、真ならば証明し、偽ならば反例をあげよ。

(3) 命題「全ての自然数$n$に対して、$\frac{a_{n+1}}{a_n}$は整数ではない」の真偽を調べ、真ならば証明し、偽ならば反例をあげよ。

2. 解き方の手順

(1) 数学的帰納法で証明します。

$n=1$のとき、$a_1=2 > 1$であり、成り立ちます。

$n=2$のとき、$a_2=3 > 2$であり、成り立ちます。

$n=k$, $n=k+1$のとき、$a_k > k$かつ$a_{k+1} > k+1$が成り立つと仮定します。

このとき、$a_{k+2} = a_{k+1} + a_k > (k+1) + k = 2k+1 > k+2$（$k\geq 1$のとき）。

したがって、$n=k+2$のときも成り立ちます。

よって、全ての自然数$n$に対して、$a_n > n$が成り立ちます。

(2) 数列の最初のいくつかの項を計算してみます。

$a_1=2$, $a_2=3$, $a_3=5$, $a_4=8$, $a_5=13$, $a_6=21$, $a_7=34$, $a_8=55$, $a_9=89$, $a_{10}=144$

$a_1=2$は偶数で、素因数は2のみです。

$a_4=8=2^3$は偶数で、素因数は2のみです。

$a_7=34 = 2 \times 17$は偶数ですが、素因数に17が含まれます。

したがって、命題は偽であり、反例は$a_7=34$です。

(3) 数列の最初のいくつかの項について、$\frac{a_{n+1}}{a_n}$を計算してみます。

$\frac{a_2}{a_1}=\frac{3}{2}$, $\frac{a_3}{a_2}=\frac{5}{3}$, $\frac{a_4}{a_3}=\frac{8}{5}$, $\frac{a_5}{a_4}=\frac{13}{8}$, $\frac{a_6}{a_5}=\frac{21}{13}$, $\frac{a_7}{a_6}=\frac{34}{21}$, $\frac{a_8}{a_7}=\frac{55}{34}$, $\frac{a_9}{a_8}=\frac{89}{55}$, $\frac{a_{10}}{a_9}=\frac{144}{89}$

これらの値はすべて整数ではありません。

$\frac{a_{n+1}}{a_n}$が整数になると仮定すると、$a_{n+1} = k a_n$（$k$は整数）となります。

$a_{n+2} = a_{n+1} + a_n = k a_n + a_n = (k+1) a_n$

$\frac{a_{n+2}}{a_n} = k+1$

$a_{n+3} = a_{n+2} + a_{n+1} = (k+1)a_n + ka_n = (2k+1)a_n$

$\frac{a_{n+3}}{a_n} = 2k+1$

$a_{n+1}/a_n$が整数となるような$n$が存在すると仮定します。

$a_n$と$a_{n+1}$が互いに素でない場合、$\frac{a_{n+1}}{a_n}$は整数になり得ますが、$a_n$と$a_{n+1}$が公約数を持つことはありません。

なぜなら、もし$a_n$と$a_{n+1}$が公約数$d$を持つならば、$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$も$d$で割り切れ、$a_{n+3}, a_{n+4}, \dots$も全て$d$で割り切れることになり、$a_1=2, a_2=3$が互いに素であることに矛盾するからです。

したがって、$\frac{a_{n+1}}{a_n}$が整数になることはありません。

したがって、命題は真です。

3. 最終的な答え

(1) 証明は上記の通り。

(2) 偽。反例は$a_7 = 34 = 2 \times 17$。

(3) 真。証明は上記の通り。