自然数の列が、以下のように群に分けられています。第$n$群には$2^{n-1}$個の数が入ります。 1 | 2, 3 | 4, 5, 6, 7 | 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 | 16,... (1) $n \geq 2$のとき、第$n$群の最初の数を$n$の式で表してください。 (2) 第$n$群に入るすべての数の和$S$を求めてください。

1. 問題の内容

自然数の列が、以下のように群に分けられています。第$n$群には$2^{n-1}$個の数が入ります。

1 | 2, 3 | 4, 5, 6, 7 | 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 | 16,...

(1) $n \geq 2$のとき、第$n$群の最初の数を$n$の式で表してください。

(2) 第$n$群に入るすべての数の和$S$を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) 第$n$群の最初の数を求める。

第$n$群の最初の数は、第$(n-1)$群までの項数に1を加えたものです。

第1群から第$(n-1)$群までの項数は、

$2^0 + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^{n-2}$

これは初項1、公比2の等比数列の和なので、

$\frac{1(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2^{n-1} - 1$

したがって、第$n$群の最初の数は、

$2^{n-1} - 1 + 1 = 2^{n-1}$

(2) 第$n$群に入るすべての数の和$S$を求める。

第$n$群は、$2^{n-1}$から始まり、項数は$2^{n-1}$個です。

したがって、第$n$群の最後の数は、

$2^{n-1} + (2^{n-1} - 1) = 2 \cdot 2^{n-1} - 1 = 2^n - 1$

第$n$群は等差数列なので、その和$S$は、

$S = \frac{2^{n-1}}{2}(2^{n-1} + 2^n - 1)$

$S = 2^{n-2}(2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-1} - 1)$

$S = 2^{n-2}(3 \cdot 2^{n-1} - 1)$

3. 最終的な答え

(1) 第$n$群の最初の数: $2^{n-1}$

(2) 第$n$群に入るすべての数の和$S$: $2^{n-2}(3 \cdot 2^{n-1} - 1)$

あるいは $2^{2n-3} \cdot 3 - 2^{n-2}$