$p$, $q$, $r$ は互いに異なる素数であり、$l$, $m$, $n$ は自然数である。このとき、整数 $p^l q^m r^n$ のすべての約数の和が $\frac{p^{l+1}-1}{p-1} \cdot \frac{q^{m+1}-1}{q-1} \cdot \frac{r^{n+1}-1}{r-1}$ となることを証明する。

1. 問題の内容

$p$, $q$, $r$ は互いに異なる素数であり、$l$, $m$, $n$ は自然数である。このとき、整数 $p^l q^m r^n$ のすべての約数の和が $\frac{p^{l+1}-1}{p-1} \cdot \frac{q^{m+1}-1}{q-1} \cdot \frac{r^{n+1}-1}{r-1}$ となることを証明する。

2. 解き方の手順

整数 $p^l q^m r^n$ の約数は、 $p^i q^j r^k$ （ただし、$0 \le i \le l$, $0 \le j \le m$, $0 \le k \le n$）の形で表される。したがって、すべての約数の和 $S$ は、次のように表される。

$S = \sum_{i=0}^{l} \sum_{j=0}^{m} \sum_{k=0}^{n} p^i q^j r^k$

この三重和は、次のように書き換えることができる。

$S = \left( \sum_{i=0}^{l} p^i \right) \left( \sum_{j=0}^{m} q^j \right) \left( \sum_{k=0}^{n} r^k \right)$

各総和は等比数列の和であるため、次の公式を用いることができる。

$\sum_{i=0}^{n} a^i = \frac{a^{n+1}-1}{a-1}$

この公式を適用すると、

$\sum_{i=0}^{l} p^i = \frac{p^{l+1}-1}{p-1}$

$\sum_{j=0}^{m} q^j = \frac{q^{m+1}-1}{q-1}$

$\sum_{k=0}^{n} r^k = \frac{r^{n+1}-1}{r-1}$

したがって、すべての約数の和 $S$ は次のようになる。

$S = \frac{p^{l+1}-1}{p-1} \cdot \frac{q^{m+1}-1}{q-1} \cdot \frac{r^{n+1}-1}{r-1}$

3. 最終的な答え

整数 $p^l q^m r^n$ のすべての約数の和は $\frac{p^{l+1}-1}{p-1} \cdot \frac{q^{m+1}-1}{q-1} \cdot \frac{r^{n+1}-1}{r-1}$ である。