(9) 任意の整数 $n$ に対して、$n^2$ を4で割ったときの余りが0か1であることを示す。 (10) 整数 $a, b, c$ が $a^2 + b^2 = c^2$ を満たしているとき、$a, b$ のうち少なくとも一方が偶数であることを示す。

1. 問題の内容

(9) 任意の整数 $n$ に対して、$n^2$ を4で割ったときの余りが0か1であることを示す。

(10) 整数 $a, b, c$ が $a^2 + b^2 = c^2$ を満たしているとき、$a, b$ のうち少なくとも一方が偶数であることを示す。

2. 解き方の手順

(9) 任意の整数 $n$ に対して、$n^2$ を4で割ったときの余りを考える。

$n$ が偶数のとき、$n = 2k$（$k$ は整数）と表せる。

このとき、$n^2 = (2k)^2 = 4k^2$ となり、$n^2$ を4で割った余りは0となる。

$n$ が奇数のとき、$n = 2k+1$（$k$ は整数）と表せる。

このとき、$n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2 + k) + 1$ となり、$n^2$ を4で割った余りは1となる。

したがって、任意の整数 $n$ に対して、$n^2$ を4で割ったときの余りは0か1である。

(10) $a^2 + b^2 = c^2$ が成り立つとき、$a, b$ のうち少なくとも一方が偶数であることを背理法で示す。

$a, b$ がともに奇数であると仮定する。

すると、$a = 2k+1$、$b = 2l+1$（$k, l$ は整数）と表せる。

このとき、$a^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2+k) + 1$、$b^2 = (2l+1)^2 = 4l^2 + 4l + 1 = 4(l^2+l) + 1$ となる。

したがって、$a^2 + b^2 = 4(k^2+k) + 1 + 4(l^2+l) + 1 = 4(k^2+k+l^2+l) + 2$ となり、$a^2 + b^2$ を4で割った余りは2となる。

一方、$c$ が偶数であれば、$c^2$ を4で割った余りは0であり、$c$ が奇数であれば、$c^2$ を4で割った余りは1である。つまり、$c^2$ を4で割った余りは0か1である。

これは、$a^2 + b^2 = c^2$ であることに矛盾する。

したがって、$a, b$ がともに奇数であるという仮定は誤りであり、$a, b$ のうち少なくとも一方は偶数である。

3. 最終的な答え

(9) 任意の整数 $n$ に対して、$n^2$ を4で割ったときの余りは0か1である。

(10) 整数 $a, b, c$ が $a^2 + b^2 = c^2$ を満たしているとき、$a, b$ のうち少なくとも一方は偶数である。