与えられた選択肢の中から、常に正しいものをすべて選びます。選択肢は以下の通りです。 (1) 無理数と無理数の差は常に無理数である。 (2) 有理数と有理数の差は常に有理数である。 (3) 無理数と無理数の商は常に無理数である。 (4) 有理数と無理数の商は常に無理数である。

1. 問題の内容

与えられた選択肢の中から、常に正しいものをすべて選びます。選択肢は以下の通りです。

(1) 無理数と無理数の差は常に無理数である。

(2) 有理数と有理数の差は常に有理数である。

(3) 無理数と無理数の商は常に無理数である。

(4) 有理数と無理数の商は常に無理数である。

2. 解き方の手順

各選択肢について、反例があるかどうかを検討します。

(1) 無理数と無理数の差について：

$\sqrt{2}$ は無理数ですが、$\sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$ は有理数です。したがって、この選択肢は誤りです。

(2) 有理数と有理数の差について：

有理数は分数 $p/q$ （$p$, $q$ は整数、$q \neq 0$）で表される数です。

二つの有理数 $p/q$ と $r/s$ の差は $p/q - r/s = (ps - qr) / (qs)$ です。

$ps - qr$ と $qs$ は整数であり、$qs \neq 0$ なので、その差も有理数です。したがって、この選択肢は正しいです。

(3) 無理数と無理数の商について：

$\sqrt{2}$ は無理数ですが、$\sqrt{2} / \sqrt{2} = 1$ は有理数です。したがって、この選択肢は誤りです。

(4) 有理数と無理数の商について：

有理数 $a$ （$a \neq 0$）と無理数 $b$ の商 $a/b$ を考えます。もし $a/b$ が有理数であると仮定すると、$a/b = c/d$ （$c$, $d$ は整数、$d \neq 0$）と表すことができます。

このとき、$b = ad/c$ となります。$a$, $d$, $c$ は有理数なので、$ad/c$ も有理数です。しかし、$b$ は無理数であると仮定されているので矛盾します。したがって、$a/b$ は無理数です。

また、$b/a$ について、$b/a = c$ (cは有理数)と仮定すると、$b=ac$となり、$ac$ は有理数となるので、$b$が無理数であることに矛盾する。

ただし、$a = 0$ の場合は、$0/b = 0$ となり、有理数になります。問題文には「常に」とあるので、反例が見つかれば誤りです。したがって、$a$が0でないときのみ無理数になります。

3. 最終的な答え

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