自然数 $n$ に対して、「$n^2$ が 9 の倍数でないならば、$n$ は 3 の倍数でない」という命題を、対偶を利用して証明する問題です。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、「$n^2$ が 9 の倍数でないならば、$n$ は 3 の倍数でない」という命題を、対偶を利用して証明する問題です。

2. 解き方の手順

対偶を考える：

元の命題の対偶は、「$n$ が 3 の倍数ならば、$n^2$ は 9 の倍数である」となります。この対偶が真であることを証明します。

$n$ が 3 の倍数であると仮定する：

$n$ が 3 の倍数であるとき、$n = 3k$ (k は整数) と表すことができます。

$n^2$ を計算する：

$n^2 = (3k)^2 = 9k^2$ となります。

$n^2$ が 9 の倍数であることを示す：

$n^2 = 9k^2$ は 9 で割り切れるので、$n^2$ は 9 の倍数です。

結論：

したがって、$n$ が 3 の倍数ならば、$n^2$ は 9 の倍数であるという対偶が真であることが示されました。元の命題も真であると言えます。

3. 最終的な答え

$n$ を自然数とする。

命題「$n^2$ が 9 の倍数でないならば、$n$ は 3 の倍数でない」の対偶は「$n$ が 3 の倍数ならば、$n^2$ は 9 の倍数である」である。

$n$ が 3 の倍数であるとすると、$n = 3k$ (k は整数) と表せる。

このとき、$n^2 = (3k)^2 = 9k^2$ となり、$n^2$ は 9 の倍数である。

したがって、対偶が真であるから、元の命題も真である。